Номер 1.37, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.37. 1) $ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x + 2y}{x - y} + \frac{x - 2y}{x + y} = 4, \\ x^2 + xy + y^2 = 21; \end{array} \right. $

2) $ \left\{ \begin{array}{l} \frac{3x - 9y}{x + y} + \frac{2x + y}{x - y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48. \end{array} \right. $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+2y}{x-y} + \frac{x-2y}{x+y} = 4, \\ x^2 + xy + y^2 = 21; \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Преобразуем первое уравнение системы. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$$ \frac{(x+2y)(x+y) + (x-2y)(x-y)}{(x-y)(x+y)} = 4 $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{(x^2 + xy + 2xy + 2y^2) + (x^2 - xy - 2xy + 2y^2)}{x^2 - y^2} = 4 $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{2x^2 + 4y^2}{x^2 - y^2} = 4 $$

С учетом ОДЗ, умножим обе части уравнения на $x^2 - y^2$:

$$ 2x^2 + 4y^2 = 4(x^2 - y^2) $$

$$ 2x^2 + 4y^2 = 4x^2 - 4y^2 $$

$$ 8y^2 = 2x^2 $$

$$ x^2 = 4y^2 $$

Из этого уравнения следует, что $x = 2y$ или $x = -2y$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x = 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x^2 + xy + y^2 = 21$:

$$ (2y)^2 + (2y)y + y^2 = 21 $$

$$ 4y^2 + 2y^2 + y^2 = 21 $$

$$ 7y^2 = 21 $$

$$ y^2 = 3 \implies y_1 = \sqrt{3}, \quad y_2 = -\sqrt{3} $$

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = \sqrt{3}$, то $x_1 = 2\sqrt{3}$. Получаем решение $(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Если $y_2 = -\sqrt{3}$, то $x_2 = -2\sqrt{3}$. Получаем решение $(-2\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Случай 2: $x = -2y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ (-2y)^2 + (-2y)y + y^2 = 21 $$

$$ 4y^2 - 2y^2 + y^2 = 21 $$

$$ 3y^2 = 21 $$

$$ y^2 = 7 \implies y_3 = \sqrt{7}, \quad y_4 = -\sqrt{7} $$

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \sqrt{7}$, то $x_3 = -2\sqrt{7}$. Получаем решение $(-2\sqrt{7}, \sqrt{7})$.

Если $y_4 = -\sqrt{7}$, то $x_4 = 2\sqrt{7}$. Получаем решение $(2\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

Все четыре найденные пары чисел удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$; $(-2\sqrt{3}, -\sqrt{3})$; $(-2\sqrt{7}, \sqrt{7})$; $(2\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x-9y}{x+y} + \frac{2x+y}{x-y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48. \end{cases} $$

ОДЗ: $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$, то есть $x \neq -y$ и $x \neq y$.

Приведем дроби в первом уравнении к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$$ \frac{(3x-9y)(x-y) + (2x+y)(x+y)}{x^2 - y^2} = 4 $$

Из второго уравнения системы известно, что $x^2 - y^2 = 48$. Подставим это в первое уравнение:

$$ \frac{(3x-9y)(x-y) + (2x+y)(x+y)}{48} = 4 $$

Умножим обе части на 48 и раскроем скобки:

$$ (3x^2 - 3xy - 9xy + 9y^2) + (2x^2 + 2xy + xy + y^2) = 192 $$

$$ 3x^2 - 12xy + 9y^2 + 2x^2 + 3xy + y^2 = 192 $$

Приведем подобные члены:

$$ 5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192 $$

Получили новую систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192, \\ x^2 - y^2 = 48. \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, мы можем разделить одно уравнение на другое:

$$ \frac{5x^2 - 9xy + 10y^2}{x^2 - y^2} = \frac{192}{48} = 4 $$

Разделим числитель и знаменатель левой части на $y^2$ (можно показать, что $y \neq 0$):

$$ \frac{5(\frac{x}{y})^2 - 9(\frac{x}{y}) + 10}{(\frac{x}{y})^2 - 1} = 4 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$$ \frac{5t^2 - 9t + 10}{t^2 - 1} = 4 $$

$$ 5t^2 - 9t + 10 = 4(t^2 - 1) $$

$$ 5t^2 - 9t + 10 = 4t^2 - 4 $$

$$ t^2 - 9t + 14 = 0 $$

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Случай 1: $t = \frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$

Подставим $x = 2y$ в уравнение $x^2 - y^2 = 48$:

$$ (2y)^2 - y^2 = 48 $$

$$ 3y^2 = 48 \implies y^2 = 16 \implies y_1 = 4, \quad y_2 = -4 $$

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 2 \cdot 4 = 8$. Решение: $(8, 4)$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 2 \cdot (-4) = -8$. Решение: $(-8, -4)$.

Случай 2: $t = \frac{x}{y} = 7 \implies x = 7y$

Подставим $x = 7y$ в уравнение $x^2 - y^2 = 48$:

$$ (7y)^2 - y^2 = 48 $$

$$ 48y^2 = 48 \implies y^2 = 1 \implies y_3 = 1, \quad y_4 = -1 $$

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 7 \cdot 1 = 7$. Решение: $(7, 1)$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 7 \cdot (-1) = -7$. Решение: $(-7, -1)$.

Все найденные пары чисел удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(8, 4)$; $(-8, -4)$; $(7, 1)$; $(-7, -1)$.