Номер 1.39, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39*. При каких значениях a система уравнений

1) $ \begin{cases} x + y = a, \\ xy = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = a, \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $

имеет только одно решение?

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a, \\ xy = 9 \end{cases} $

Данная система является симметричной относительно переменных $x$ и $y$. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями некоторого квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$, где $t_1+t_2 = -p$ и $t_1t_2 = q$.

В нашем случае $x+y=a$ и $xy=9$. Следовательно, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения:

$t^2 - at + 9 = 0$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(x, y)$. Если данное квадратное уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$, то исходная система будет иметь два различных решения: $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Система будет иметь только одно решение в том случае, когда $x=y$. Это соответствует ситуации, когда квадратное уравнение для $t$ имеет единственный корень (или два совпадающих корня). Такое возможно, только если дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант уравнения $t^2 - at + 9 = 0$:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти условие единственного решения:

$a^2 - 36 = 0$

$a^2 = 36$

$a = \pm\sqrt{36}$

$a = 6$ или $a = -6$.

При этих значениях $a$ система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a=6, a=-6$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a, \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $

Эта система также является симметричной. Используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, из которого следует, что $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$.

Подставим в это тождество выражения из данной системы:

$2 = a^2 - 2xy$

Из этого уравнения выразим произведение $xy$:

$2xy = a^2 - 2$

$xy = \frac{a^2 - 2}{2}$

Теперь исходную систему можно представить в эквивалентном виде:

$ \begin{cases} x + y = a, \\ xy = \frac{a^2 - 2}{2} \end{cases} $

Аналогично первому пункту, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив выражения для суммы и произведения, получим:

$t^2 - at + \frac{a^2 - 2}{2} = 0$

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\frac{a^2 - 2}{2}\right) = a^2 - 2(a^2 - 2) = a^2 - 2a^2 + 4 = 4 - a^2$

Приравняем дискриминант к нулю:

$4 - a^2 = 0$

$a^2 = 4$

$a = \pm\sqrt{4}$

$a = 2$ или $a = -2$.

При этих значениях $a$ система имеет единственное решение.

Ответ: $a=2, a=-2$.