Номер 1.36, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. 1) $\begin{cases} \frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{y^2 + xy} = \frac{13}{6}, \\ \frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{y^2 + xy} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14}, \\ \frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{y^2 + xy} = \frac{13}{6} \\\frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{y^2 + xy} = 1\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x(x+y) \ne 0$ и $y(y+x) \ne 0$.
Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x^2 + xy}$ и $v = \frac{1}{y^2 + xy}$.
Тогда система примет вид линейной системы относительно $u$ и $v$:
$\begin{cases}5u + 4v = \frac{13}{6} \\8u - v = 1\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $v$: $v = 8u - 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$5u + 4(8u - 1) = \frac{13}{6}$
$5u + 32u - 4 = \frac{13}{6}$
$37u = 4 + \frac{13}{6}$
$37u = \frac{24+13}{6} = \frac{37}{6}$
$u = \frac{1}{6}$
Теперь найдем $v$:
$v = 8u - 1 = 8 \cdot \frac{1}{6} - 1 = \frac{8}{6} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
Выполним обратную замену:
$u = \frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1}{6} \implies x^2 + xy = 6$
$v = \frac{1}{y^2 + xy} = \frac{1}{3} \implies y^2 + xy = 3$
Получили новую систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 + xy = 6 \\y^2 + xy = 3\end{cases}$
Вынесем общие множители за скобки:
$\begin{cases}x(x+y) = 6 \\y(x+y) = 3\end{cases}$
Поскольку $y(x+y) = 3 \ne 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:
$\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{6}{3}$
$\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.
Подставим $x = 2y$ во второе уравнение $y(x+y) = 3$:
$y(2y+y) = 3$
$y(3y) = 3$
$3y^2 = 3$
$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y=1$, то $x = 2y = 2(1) = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x = 2y = 2(-1) = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

2)Дана система уравнений:
$\begin{cases}\frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14} \\\frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}\end{cases}$
ОДЗ: $x(x+3y) \ne 0$ и $y(y-x) \ne 0$.
Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x^2 + 3xy}$ и $b = \frac{1}{y^2 - xy}$.
Система примет вид:
$\begin{cases}2a + 3b = \frac{25}{14} \\3a - 2b = -\frac{4}{7}\end{cases}$
Решим эту систему линейных уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$\begin{cases}4a + 6b = 2 \cdot \frac{25}{14} = \frac{25}{7} \\9a - 6b = 3 \cdot (-\frac{4}{7}) = -\frac{12}{7}\end{cases}$
Сложим два уравнения:
$(4a + 6b) + (9a - 6b) = \frac{25}{7} - \frac{12}{7}$
$13a = \frac{13}{7}$
$a = \frac{1}{7}$
Подставим найденное значение $a$ в уравнение $2a + 3b = \frac{25}{14}$:
$2(\frac{1}{7}) + 3b = \frac{25}{14}$
$\frac{2}{7} + 3b = \frac{25}{14}$
$3b = \frac{25}{14} - \frac{2}{7} = \frac{25}{14} - \frac{4}{14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
$b = \frac{1}{2}$
Вернемся к исходным переменным:
$a = \frac{1}{x^2 + 3xy} = \frac{1}{7} \implies x^2 + 3xy = 7$
$b = \frac{1}{y^2 - xy} = \frac{1}{2} \implies y^2 - xy = 2$
Получили систему:
$\begin{cases}x^2 + 3xy = 7 \\y^2 - xy = 2\end{cases}$
Это система однородных уравнений. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7, чтобы приравнять правые части:
$2(x^2 + 3xy) = 14$ и $7(y^2 - xy) = 14$.
$2(x^2 + 3xy) = 7(y^2 - xy)$
$2x^2 + 6xy = 7y^2 - 7xy$
$2x^2 + 13xy - 7y^2 = 0$
Заметим, что $y \ne 0$, иначе $2x^2 = 0 \implies x=0$, но пара $(0,0)$ не является решением системы. Разделим уравнение на $y^2$:
$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 13\left(\frac{x}{y}\right) - 7 = 0$
Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $2t^2 + 13t - 7 = 0$.
Решим квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = 13^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{-13 \pm 15}{4}$
$t_1 = \frac{-13+15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-13-15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$. Подставим в уравнение $y^2 - xy = 2$:
$(2x)^2 - x(2x) = 2 \implies 4x^2 - 2x^2 = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$.
Отсюда $x_1=1, y_1=2(1)=2$ и $x_2=-1, y_2=2(-1)=-2$.
Получаем решения: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.
2) $\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$. Подставим в уравнение $y^2 - xy = 2$:
$y^2 - (-7y)y = 2 \implies y^2 + 7y^2 = 2 \implies 8y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{4}$.
Отсюда $y_3 = \frac{1}{2}, x_3 = -7(\frac{1}{2}) = -\frac{7}{2}$ и $y_4 = -\frac{1}{2}, x_4 = -7(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$.
Получаем решения: $(-\frac{7}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.
Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (-\frac{7}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.