Номер 1.30, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.30.

1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x + y - 3\sqrt{xy} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{x}, \\ y^2 - x - 9 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x + y - 3\sqrt{xy} = 1; \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0, y \ge 0$.
Введем новые переменные: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 4, \\ a^2 + b^2 - 3ab = 1. \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя тождество $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$:
$(a+b)^2 - 2ab - 3ab = 1$
$(a+b)^2 - 5ab = 1$
Подставим в это уравнение значение $a+b=4$ из первого уравнения системы:
$4^2 - 5ab = 1$
$16 - 5ab = 1$
$5ab = 15$
$ab = 3$
Теперь мы имеем систему для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 4, \\ ab = 3. \end{cases} $
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Решим это уравнение: $(t-1)(t-3) = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 3$.
Получаем два случая:
1. $a=1, b=3$. Возвращаемся к исходным переменным:
$\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x=1$.
$\sqrt{y} = 3 \Rightarrow y=9$.
Решение: $(1, 9)$.
2. $a=3, b=1$. Возвращаемся к исходным переменным:
$\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x=9$.
$\sqrt{y} = 1 \Rightarrow y=1$.
Решение: $(9, 1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{x}, \\ y^2 - x - 9 = 0. \end{cases} $
ОДЗ: $y \ne \pm 1, x \ne 0$.
Упростим первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{(y+1) - (y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{1}{x}$
$\frac{y+1-y+1}{y^2-1} = \frac{1}{x}$
$\frac{2}{y^2-1} = \frac{1}{x}$
Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{y^2-1}{2}$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$y^2 - \left(\frac{y^2-1}{2}\right) - 9 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2:
$2y^2 - (y^2-1) - 18 = 0$
$2y^2 - y^2 + 1 - 18 = 0$
$y^2 - 17 = 0$
$y^2 = 17 \Rightarrow y_1 = \sqrt{17}, y_2 = -\sqrt{17}$.
Оба значения $y$ удовлетворяют ОДЗ ($y \ne \pm 1$).
Теперь найдем соответствующее значение $x$. Так как $x$ зависит от $y^2$, значение $x$ будет одинаковым для обоих $y$:
$x = \frac{17-1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Это значение $x$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).
Получаем два решения:
1. $(8, \sqrt{17})$
2. $(8, -\sqrt{17})$
Ответ: $(8, \sqrt{17}), (8, -\sqrt{17})$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases} $
Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Подставим известные значения из системы:
$35 = 5(x^2 - xy + y^2)$
Разделим обе части на 5:
$x^2 - xy + y^2 = 7$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 7. \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$:
$(x+y)^2 - 2xy - xy = 7$
$(x+y)^2 - 3xy = 7$
Подставим $x+y=5$ из первого уравнения:
$5^2 - 3xy = 7$
$25 - 3xy = 7$
$3xy = 18$
$xy = 6$
Получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $
По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Решим это уравнение: $(t-2)(t-3)=0$. Корни $t_1 = 2, t_2 = 3$.
Таким образом, решения системы:
1. $x=2, y=3$
2. $x=3, y=2$
Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.