Номер 1.29, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. 1)

$\begin{cases} y - x = 1, \\ x + |y| = 1; \end{cases}$

1.29. 2)

$\begin{cases} |x - 1| + y = 4, \\ x + y = 3; \end{cases}$

1.29. 3)

$\begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = -1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y - x = 1, \\ x + |y| = 1; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = x + 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x + |x + 1| = 1$.
Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.
Случай 1: подмодульное выражение неотрицательно, $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
В этом случае $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид: $x + (x + 1) = 1$
$2x + 1 = 1$
$2x = 0$
$x = 0$.
Данное значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge -1$. Найдем соответствующее значение $y$: $y = x + 1 = 0 + 1 = 1$.
Таким образом, мы получили решение $(0, 1)$.
Случай 2: подмодульное выражение отрицательно, $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
В этом случае $|x + 1| = -(x + 1)$. Уравнение принимает вид: $x - (x + 1) = 1$
$x - x - 1 = 1$
$-1 = 1$.
Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
Единственное решение системы — $(0, 1)$.
Ответ: $(0, 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} |x - 1| + y = 4, \\ x + y = 3; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $|x - 1| + (3 - x) = 4$.
Выразим модуль: $|x - 1| = 4 - (3 - x)$
$|x - 1| = 1 + x$.
Уравнение вида $|A| = B$ имеет решения только при условии $B \ge 0$. В данном случае $1 + x \ge 0$, что означает $x \ge -1$. При этом условии уравнение $|x - 1| = 1 + x$ равносильно совокупности двух уравнений: $x - 1 = 1 + x$ или $x - 1 = -(1 + x)$.
Рассмотрим первое уравнение:
$x - 1 = 1 + x$
$-1 = 1$.
Это неверное равенство, поэтому это уравнение не имеет решений.
Рассмотрим второе уравнение:
$x - 1 = -(1 + x)$
$x - 1 = -1 - x$
$2x = 0$
$x = 0$.
Это значение удовлетворяет условию $x \ge -1$. Найдем соответствующее значение $y$: $y = 3 - x = 3 - 0 = 3$.
Получили решение $(0, 3)$. Выполним проверку:
$|0-1| + 3 = 1+3=4$ (верно).
$0+3=3$ (верно).
Ответ: $(0, 3)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = -1; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $y$: $(x^2 - 3y) + (7x + 3y) = -5 + (-1)$
$x^2 + 7x = -6$
$x^2 + 7x + 6 = 0$.
Получили приведенное квадратное уравнение относительно $x$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $6$. Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня. Для этого воспользуемся вторым уравнением системы $7x + 3y = -1$.
Из него $3y = -1 - 7x$, откуда $y = \frac{-1 - 7x}{3}$.
При $x_1 = -1$:
$y_1 = \frac{-1 - 7(-1)}{3} = \frac{-1 + 7}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Первое решение: $(-1, 2)$.
При $x_2 = -6$:
$y_2 = \frac{-1 - 7(-6)}{3} = \frac{-1 + 42}{3} = \frac{41}{3}$.
Второе решение: $(-6, \frac{41}{3})$.
Ответ: $(-1, 2), (-6, \frac{41}{3})$.