Номер 1.26, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26.

1) $\begin{cases} x + 2y = 13, \\ xy = 15; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 2, \\ xy = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5(x - y) = 4y, \\ x^2 + 4y^2 = 181. \end{cases}$

1)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} x + 2y = 13, \\ xy = 15; \end{cases}$

Для решения используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:$x = 13 - 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:$(13 - 2y)y = 15$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$13y - 2y^2 = 15$$2y^2 - 13y + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49$

Найдем корни уравнения для $y$:$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 13 - 2y$.

Если $y_1 = 1.5$, то $x_1 = 13 - 2 \cdot 1.5 = 13 - 3 = 10$.Первое решение: $(10; 1.5)$.

Если $y_2 = 5$, то $x_2 = 13 - 2 \cdot 5 = 13 - 10 = 3$.Второе решение: $(3; 5)$.

Ответ: $(10; 1.5), (3; 5)$.

2)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} x - 2y = 2, \\ xy = 12; \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:$x = 2 + 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:$(2 + 2y)y = 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$2y + 2y^2 = 12$$2y^2 + 2y - 12 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:$y^2 + y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корнями являются числа $2$ и $-3$.$y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ по формуле $x = 2 + 2y$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 \cdot 2 = 2 + 4 = 6$.Первое решение: $(6; 2)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 2 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4$.Второе решение: $(-4; -3)$.

Ответ: $(6; 2), (-4; -3)$.

3)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 5(x - y) = 4y, \\ x^2 + 4y^2 = 181. \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение:$5x - 5y = 4y$$5x = 9y$

Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:$x = \frac{9}{5}y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:$(\frac{9}{5}y)^2 + 4y^2 = 181$

Выполним возведение в квадрат и решим уравнение относительно $y$:$\frac{81}{25}y^2 + 4y^2 = 181$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:$(\frac{81}{25} + \frac{100}{25})y^2 = 181$$\frac{181}{25}y^2 = 181$

Разделим обе части уравнения на 181 (при условии, что $181 \ne 0$):$\frac{1}{25}y^2 = 1$$y^2 = 25$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:$y_1 = 5$, $y_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = \frac{9}{5}y$.

Если $y_1 = 5$, то $x_1 = \frac{9}{5} \cdot 5 = 9$.Первое решение: $(9; 5)$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = \frac{9}{5} \cdot (-5) = -9$.Второе решение: $(-9; -5)$.

Ответ: $(9; 5), (-9; -5)$.