Номер 1.22, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x + y = 3, \\ 3y - x = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} |x| + y = 5, \\ x + 4y = 5. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 4, \\x - y = 2.\end{cases}$
Это линейная система, которую удобно решать методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2} = 3$
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$3 + y = 4$
$y = 4 - 3$
$y = 1$
Проверим решение, подставив $x=3$ и $y=1$ в оба исходных уравнения:
$3 + 1 = 4$ (верно)
$3 - 1 = 2$ (верно)
Ответ: $(3; 1)$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 3, \\3y - x = 1.\end{cases}$
Для удобства решения методом сложения, поменяем местами слагаемые во втором уравнении: $-x + 3y = 1$. Теперь система выглядит так:$\begin{cases}x + y = 3, \\-x + 3y = 1.\end{cases}$
Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (-x + 3y) = 3 + 1$
$4y = 4$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x + 1 = 3$
$x = 3 - 1$
$x = 2$
Проверим решение, подставив $x=2$ и $y=1$ в оба исходных уравнения:
$2 + 1 = 3$ (верно)
$3 \cdot 1 - 2 = 1$ (верно)
Ответ: $(2; 1)$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}|x| + y = 5, \\x + 4y = 5.\end{cases}$
Наличие модуля $|x|$ требует рассмотрения двух случаев.

Случай 1: $x \ge 0$
При этом условии $|x| = x$. Система принимает вид:
$\begin{cases}x + y = 5, \\x + 4y = 5.\end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(x + 4y) - (x + y) = 5 - 5$
$3y = 0$
$y = 0$
Подставим $y = 0$ в первое уравнение $x + y = 5$:
$x + 0 = 5$
$x = 5$
Найденное значение $x=5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, пара $(5; 0)$ является решением.

Случай 2: $x < 0$
При этом условии $|x| = -x$. Система принимает вид:
$\begin{cases}-x + y = 5, \\x + 4y = 5.\end{cases}$
Сложим уравнения системы:
$(-x + y) + (x + 4y) = 5 + 5$
$5y = 10$
$y = 2$
Подставим $y = 2$ во второе уравнение $x + 4y = 5$:
$x + 4 \cdot 2 = 5$
$x + 8 = 5$
$x = 5 - 8 = -3$
Найденное значение $x = -3$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, пара $(-3; 2)$ также является решением.
Проверим оба решения в исходной системе.
Для $(5; 0)$: $|5|+0=5$ и $5+4\cdot0=5$. (верно)
Для $(-3; 2)$: $|-3|+2=3+2=5$ и $-3+4\cdot2=-3+8=5$. (верно)
Ответ: $(5; 0)$, $(-3; 2)$.