Страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. 1) $x^2+y^2-3x-3y+2=0;$

2) $|x^2+y^2-3x-3y+4,5|=2,5;$

3) $x^2+y^2-3|x|-3|y|+2=0;$

4) $|x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5|=2,5.$

1) $x^2+y^2-3x-3y+2=0$

Данное уравнение является уравнением окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, приведем уравнение к каноническому виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a,b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и дополним их до полного квадрата.
Исходное уравнение: $x^2+y^2-3x-3y+2=0$.
Сгруппируем члены: $(x^2-3x) + (y^2-3y) + 2 = 0$.
Дополним до полного квадрата выражение с $x$:
$x^2 - 3x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
Аналогично для выражения с $y$:
$y^2 - 3y = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2 = 0$.
Перенесем свободные члены в правую часть:
$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - 2$.
$(x - 1,5)^2 + (y - 1,5)^2 = \frac{18}{4} - 2 = 4,5 - 2 = 2,5$.
Таким образом, мы получили уравнение окружности с центром в точке $C(1,5; 1,5)$ и квадратом радиуса $R^2 = 2,5$. Радиус окружности равен $R = \sqrt{2,5} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
График этой окружности представлен на рисунке.

Ответ: Заданное уравнение описывает окружность с центром в точке $(1,5; 1,5)$ и радиусом $R=\sqrt{2,5}$.

2) $|x^2+y^2-3x-3y+4,5|=2,5$

Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля. Для этого выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$, как и в предыдущей задаче:
$x^2+y^2-3x-3y+4,5 = (x^2-3x) + (y^2-3y) + 4,5$
$= (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2) - 1,5^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1,5 + 1,5^2) - 1,5^2 + 4,5$
$= (x-1,5)^2 - 2,25 + (y-1,5)^2 - 2,25 + 4,5$
$= (x-1,5)^2 + (y-1,5)^2$.
Теперь исходное уравнение принимает вид:
$|(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2| = 2,5$.
Выражение $(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2$ представляет собой сумму двух квадратов, поэтому оно всегда неотрицательно, т.е. $(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 \ge 0$. Следовательно, знак модуля можно опустить.
Уравнение упрощается до:
$(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 = 2,5$.
Это уравнение в точности совпадает с уравнением из задачи 1).

Ответ: Заданное уравнение описывает окружность с центром в точке $(1,5; 1,5)$ и радиусом $R=\sqrt{2,5}$.

3) $x^2+y^2-3|x|-3|y|+2=0$

Данное уравнение содержит переменные $x$ и $y$ под знаком модуля. Заметим, что $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$. Уравнение инвариантно относительно замены $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$. Это означает, что график симметричен относительно осей координат Ox и Oy.
Поэтому достаточно построить график в первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) и затем симметрично отразить его относительно осей.
В первой четверти $|x|=x$ и $|y|=y$, и уравнение принимает вид:
$x^2+y^2-3x-3y+2=0$.
Это то же уравнение окружности, что и в задаче 1): $(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 = 2,5$.
Теперь найдем, какая часть этой окружности лежит в первой четверти. Окружность с центром $C(1,5; 1,5)$ и радиусом $R=\sqrt{2,5} \approx 1,58$ пересекает оси координат.
Точки пересечения с осью Oy ($x=0$): $y^2-3y+2=0 \Rightarrow (y-1)(y-2)=0 \Rightarrow y=1, y=2$. Точки $(0,1)$ и $(0,2)$.
Точки пересечения с осью Ox ($y=0$): $x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1, x=2$. Точки $(1,0)$ и $(2,0)$.
В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) лежат две дуги этой окружности: одна соединяет точки $(1,0)$ и $(0,1)$, а другая — точки $(2,0)$ и $(0,2)$.
Полный график получается симметричным отражением этих двух дуг в остальные три четверти. В результате получаются две замкнутые кривые:
1. Внешняя кривая, образованная четырьмя дугами окружностей с радиусом $R=\sqrt{2,5}$ и центрами в точках $(\pm 1,5; \pm 1,5)$, соединяющая точки $(\pm 2, 0)$ и $(0, \pm 2)$.
2. Внутренняя кривая, образованная четырьмя дугами тех же окружностей, соединяющая точки $(\pm 1, 0)$ и $(0, \pm 1)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух замкнутых кривых, симметричных относительно осей координат.

4) $|x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5|=2,5$

Это уравнение объединяет особенности задач 2) и 3). Как и в задаче 3), график симметричен относительно обеих координатных осей из-за наличия $|x|$ и $|y|$.
Рассмотрим уравнение в первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$). Здесь $|x|=x, |y|=y$, и уравнение принимает вид:
$|x^2+y^2-3x-3y+4,5|=2,5$.
Это уравнение идентично уравнению из задачи 2). Как мы там показали, оно эквивалентно уравнению окружности:
$(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 = 2,5$.
Таким образом, в первой четверти график данного уравнения совпадает с графиком из задачи 3) в первой четверти. Он состоит из двух дуг окружности: одна соединяет точки $(1,0)$ и $(0,1)$, другая — $(2,0)$ и $(0,2)$.
Полный график строится путем симметричного отражения этих двух дуг относительно осей Ox и Oy. В результате мы получаем точно такой же график, как и в задаче 3).
Другой способ: уравнение $|F(|x|, |y|)|=C$ можно разбить на два: $F(|x|, |y|)=C$ и $F(|x|, |y|)=-C$.
Первое уравнение: $x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5 = 2,5 \Rightarrow x^2+y^2-3|x|-3|y|+2=0$. Это в точности уравнение из задачи 3).
Второе уравнение: $x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5 = -2,5 \Rightarrow x^2+y^2-3|x|-3|y|+7=0$.Рассмотрим его в первой четверти: $x^2+y^2-3x-3y+7=0$. Выделяя полные квадраты, получим $(x-1,5)^2+(y-1,5)^2 = -2,5$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, второе уравнение не добавляет новых точек к графику.
Таким образом, множество решений для задачи 4) совпадает с множеством решений для задачи 3).

Ответ: График уравнения совпадает с графиком из предыдущей задачи и представляет собой объединение двух замкнутых кривых.

1.16.

1) $y=x^2-4x+3$;

3) $y=x^2-4|x|+3$;

2) $y=|x^2-4x+3|$;

4) $y=|x^2-4|x|+3|$.

1) $y=x^2-4x+3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью OY (x=0): $y(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.

С осью OX (y=0): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1=1$, $x_2=3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Построим график, используя найденные точки: вершину $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси $x=2$ — это точка $(4, 3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (2, -1), ветвями вверх, пересекающая ось OY в точке (0, 3) и ось OX в точках (1, 0) и (3, 0).

2) $y=|x^2-4x+3|$

График функции $y=|f(x)|$ можно получить из графика функции $y=f(x)$ следующим образом: часть графика $y=f(x)$, расположенная выше и на оси OX (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, расположенная ниже оси OX (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

Используем график функции $y=x^2-4x+3$ из пункта 1. Эта парабола находится ниже оси OX на интервале $(1, 3)$.

Следовательно, часть параболы на интервале $(1, 3)$ нужно отразить симметрично относительно оси OX. Вершина $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 1)$. Части графика при $x \le 1$ и $x \ge 3$ остаются на своих местах.

Ответ: График функции получен из параболы $y=x^2-4x+3$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $x \in (1, 3)$) относительно оси OX.

3) $y=x^2-4|x|+3$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика можно выполнить следующие шаги:

1. Построить график функции для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 4x + 3$. Это правая часть параболы из пункта 1, включая точку на оси OY.

2. Отразить полученную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Часть графика для $x \ge 0$ — это часть параболы с вершиной в $(2, -1)$, проходящая через точки $(0, 3)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Отражение этой части относительно оси OY дает нам вторую половину графика. Точка $(0, 3)$ остается на месте. Точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$ отобразятся в $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$. Вершина $(2, -1)$ отобразится во вторую вершину $(-2, -1)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY, имеет локальный максимум в точке (0, 3) и два минимума (вершины) в точках (-2, -1) и (2, -1).

4) $y=|x^2-4|x|+3|$

Этот график можно построить, применив преобразование $y=|f(x)|$ к графику функции $y=f(x)=x^2-4|x|+3$ из пункта 3.

Правило построения то же, что и в пункте 2: часть графика, лежащая ниже оси OX, отражается симметрично относительно этой оси, а остальная часть остается без изменений.

Из графика в пункте 3 видно, что функция $y=x^2-4|x|+3$ отрицательна на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$.

Следовательно, мы отражаем участки графика на этих интервалах относительно оси OX. Вершины $(-2, -1)$ и $(2, -1)$ перейдут в точки $(-2, 1)$ и $(2, 1)$, которые станут локальными максимумами. Точки пересечения с осью OX $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$ останутся на месте.

Ответ: График функции получен из графика $y=x^2-4|x|+3$ отражением его отрицательных частей (на интервалах $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$) относительно оси OX. График имеет три локальных максимума в точках (-2, 1), (0, 3) и (2, 1).

1.17. 1) $y=x^2-1;$

2) $|y|=x^2-1;$

3) $|y|=|x^2-1|.$

1) $y=x^2-1$

Для построения графика функции $y = x^2 - 1$ проанализируем её свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Данный график можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем её смещения на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Найдем ключевые точки для построения:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для функции $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_0 = -b / (2a)$, $y_0 = y(x_0)$. В нашем случае $a=1, b=0, c=-1$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot 1) = 0$
$y_0 = 0^2 - 1 = -1$
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.

2. Направление ветвей. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
- С осью OX (нули функции, при $y=0$): $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Точки пересечения $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Дополнительные точки. Для большей точности найдем еще пару точек, например, при $x=2$ и $x=-2$:
$y(2) = 2^2 - 1 = 3$, точка $(2, 3)$.
$y(-2) = (-2)^2 - 1 = 3$, точка $(-2, 3)$.

На основе этих данных строим график.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, -1)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и ось OY в точке $(0, -1)$.

2) $|y|=x^2-1$

Рассмотрим уравнение $|y| = x^2 - 1$.

1. Область определения. Левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна ($|y| \ge 0$). Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x^2 - 1 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 \ge 1$, что означает $x \le -1$ или $x \ge 1$. График существует только в этих областях: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Раскрытие модуля. Уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух систем: $y = f(x)$ при $y \ge 0$ и $-y = f(x)$ при $y < 0$. В нашем случае это:
- $y = x^2 - 1$ (для $y \ge 0$)
- $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ (для $y < 0$)

3. Алгоритм построения:
- Строим график функции $y = x^2 - 1$ (как в пункте 1).
- Оставляем только ту часть графика, где $x \le -1$ или $x \ge 1$. Это соответствует участкам, где $y \ge 0$.
- Так как исходное уравнение содержит $|y|$, его график должен быть симметричен относительно оси OX. Поэтому мы отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси OX.

В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точек $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, одна пара которых направлена вверх, а другая, симметричная ей, — вниз.

Ответ: График состоит из частей парабол $y=x^2-1$ и $y=1-x^2$, определенных только для $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. График симметричен относительно оси OX.

3) $|y|=|x^2-1|$

Рассмотрим уравнение $|y| = |x^2 - 1|$.

1. Эквивалентное преобразование. Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая равносильности:
$|y|^2 = |x^2 - 1|^2$
$y^2 = (x^2 - 1)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$y = \pm(x^2 - 1)$
Это означает, что искомый график является объединением графиков двух функций: $y_1 = x^2 - 1$ и $y_2 = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$.

2. Анализ функций:
- $y = x^2 - 1$: это парабола, построенная в пункте 1. Ветви вверх, вершина в $(0, -1)$.
- $y = 1 - x^2$: это парабола, симметричная первой относительно оси OX. Ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(0, 1)$. Обе параболы пересекают ось OX в одних и тех же точках: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Построение. Строим на одной координатной плоскости обе параболы.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух парабол: $y = x^2 - 1$ (ветви вверх, вершина в $(0, -1)$) и $y = 1 - x^2$ (ветви вниз, вершина в $(0, 1)$).

1.18

1) $xy=2$;

2) $|x|y=2$;

3) $x|y|=2$;

4) $|x||y|=2$.

1) $xy=2$

Это уравнение можно представить в виде функции $y = 2/x$. Это классическое уравнение обратной пропорциональности, графиком которого является гипербола.
Основные свойства:
- Область определения: $x \neq 0$.
- Область значений: $y \neq 0$.
- График не пересекает оси координат. Оси Ox и Oy являются асимптотами.
- Если $x > 0$, то $y > 0$. Эта часть графика (ветвь) расположена в первой координатной четверти.
- Если $x < 0$, то $y < 0$. Эта часть графика (ветвь) расположена в третьей координатной четверти.
- Функция является нечетной, так как $f(-x) = 2/(-x) = - (2/x) = -f(x)$, поэтому график симметричен относительно начала координат.
Для построения графика найдем несколько точек:
(1, 2), (2, 1), (4, 0.5), (0.5, 4) — для первой четверти.
(-1, -2), (-2, -1), (-4, -0.5), (-0.5, -4) — для третьей четверти.

Ответ: Графиком является гипербола $y=2/x$ с ветвями в первой и третьей координатных четвертях.

2) $|x|y=2$

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $xy=2$. Так как при $x=0$ уравнение не имеет решений, рассматриваем $x > 0$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=2/x$, расположенная в первой координатной четверти.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-xy=2$, или $y=-2/x$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=-2/x$, расположенная во второй координатной четверти (так как $x < 0$ и $y > 0$).
Альтернативный способ — использование геометрических преобразований. График функции $y=f(|x|)$ можно получить из графика $y=f(x)$ следующим образом:
1) Построить график функции $y=f(x)$ для $x \ge 0$.
2) Отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.
В нашем случае $f(x) = 2/x$. График для $x > 0$ — это ветвь гиперболы в I четверти. Отображая ее симметрично относительно оси Oy, мы получаем ветвь во II четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. График симметричен относительно оси Oy.

3) $x|y|=2$

Раскроем модуль по переменной $y$.
1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $xy=2$. Так как при $y=0$ уравнение не имеет решений, рассматриваем $y > 0$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=2/x$, расположенная в первой координатной четверти (так как для $y > 0$ требуется $x > 0$).
2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $x(-y)=2$, или $y=-2/x$. Эта часть графика — ветвь гиперболы $y=-2/x$, расположенная в четвертой координатной четверти (так как для $y < 0$ требуется $x > 0$).
Геометрическое преобразование для графика уравнения $F(x, |y|) = 0$, полученного из $F(x, y) = 0$:
1) Построить график уравнения $F(x, y) = 0$ для $y \ge 0$.
2) Отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси Ox.
В нашем случае $F(x,y)=0$ это $xy-2=0$. Часть графика $xy=2$ при $y>0$ — это ветвь в I четверти. Отображая ее симметрично относительно оси Ox, мы получаем ветвь в IV четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и четвертой координатных четвертях. График симметричен относительно оси Ox.

4) $|x||y|=2$

Используя свойство модуля $|a||b| = |ab|$, уравнение можно переписать в виде $|xy|=2$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $xy=2$
2) $xy=-2$
Таким образом, искомый график является объединением графиков двух гипербол: $y=2/x$ и $y=-2/x$.
- График $y=2/x$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
- График $y=-2/x$ — это гипербола с ветвями в II и IV четвертях.
В результате получается график, состоящий из четырех ветвей, по одной в каждой координатной четверти.
Также этот график можно получить последовательными преобразованиями. Взяв график $xy=2$ из пункта 1, можно применить преобразование для $|x|$ (симметрия относительно Oy части, где $x>0$), а затем к результату применить преобразование для $|y|$ (симметрия относительно Ox части, где $y>0$).

Ответ: Графиком является объединение двух гипербол $y=2/x$ и $y=-2/x$. Он состоит из четырех ветвей, по одной в каждой координатной четверти, и симметричен относительно осей координат и начала координат.

1.19. При каких значениях $n$ и $m$ вершина параболы $y=nx^2+mx$ расположена в точке (2; 3)?

Дано уравнение параболы $y = nx^2 + mx$. Требуется найти значения параметров $n$ и $m$, если известно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(2; 3)$.

Координаты вершины параболы, заданной в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формуле для абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$. Ордината вершины $y_в$ равна значению функции в точке $x_в$.

В нашем случае коэффициенты уравнения $y = nx^2 + mx$ равны $a=n$ и $b=m$. По условию, абсцисса вершины $x_в = 2$.

Подставим эти значения в формулу для абсциссы вершины:

$2 = -\frac{m}{2n}$

Из этого соотношения выразим $m$ через $n$:

$4n = -m$

$m = -4n$

Это первое уравнение, связывающее наши неизвестные.

Так как точка $(2; 3)$ является вершиной параболы, она принадлежит графику этой функции. Следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x=2$ и $y=3$ в исходное уравнение $y = nx^2 + mx$:

$3 = n \cdot (2)^2 + m \cdot 2$

$3 = 4n + 2m$

Это второе уравнение.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $m = -4n$

2) $3 = 4n + 2m$

Подставим выражение для $m$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $n$:

$3 = 4n + 2(-4n)$

$3 = 4n - 8n$

$3 = -4n$

$n = -\frac{3}{4}$

Теперь, зная значение $n$, найдем $m$ из первого уравнения:

$m = -4n = -4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)$

$m = 3$

Таким образом, искомые значения параметров $n = -3/4$ и $m = 3$.

Ответ: $n = -3/4$, $m = 3$.

1.20. Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Найдите точки пересечения этого графика с прямой $y=2x$.

Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$

Функция $y = \frac{2}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Область значений — все действительные числа, кроме $y=0$. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему:

• если $x=1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$; точка $(1; 2)$
• если $x=2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$; точка $(2; 1)$
• если $x=0.5$, то $y = \frac{2}{0.5} = 4$; точка $(0.5; 4)$
• если $x=-1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$; точка $(-1; -2)$
• если $x=-2$, то $y = \frac{2}{-2} = -1$; точка $(-2; -1)$
• если $x=-0.5$, то $y = \frac{2}{-0.5} = -4$; точка $(-0.5; -4)$

График прямой $y=2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$ и, например, точку $(1;2)$.

На рисунке ниже представлены графики функций $y = \frac{2}{x}$ (синяя гипербола) и $y=2x$ (красная прямая).

Нахождение точек пересечения этого графика с прямой $y=2x$

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух функций:

$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 2x \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):

$2x = \frac{2}{x}$

Поскольку $x \neq 0$ (согласно области определения функции $y = \frac{2}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$2x \cdot x = 2$

$2x^2 = 2$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 1$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ в уравнение прямой $y=2x$:

Для $x_1 = 1$: $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(1; 2)$ и $(-1; -2)$. Эти точки отмечены на графике выше.

Ответ: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

1.21. Оцените выражения:

1) $a+b$;

2) $a-b$;

3) $a \cdot b$;

4) $\frac{a}{b}$, если

$3

1) a+b;Для нахождения оценки суммы $a+b$, необходимо сложить почленно данные неравенства $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми:
$3 + 4 < a + b < 4 + 5$
$7 < a + b < 9$
Ответ: $7 < a+b < 9$.

2) a-b;Для оценки разности $a-b$ представим её в виде суммы $a+(-b)$. Сначала оценим выражение $-b$. Исходя из неравенства $4 < b < 5$, умножим все его части на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -b > -5$
Это неравенство равносильно следующему:
$-5 < -b < -4$
Теперь сложим почленно неравенства $3 < a < 4$ и $-5 < -b < -4$:
$3 + (-5) < a + (-b) < 4 + (-4)$
$-2 < a - b < 0$
Ответ: $-2 < a-b < 0$.

3) a·b;Поскольку все части данных неравенств $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$ являются положительными числами, мы можем их перемножить почленно. Перемножаем левые части с левыми, а правые — с правыми:
$3 \cdot 4 < a \cdot b < 4 \cdot 5$
$12 < a \cdot b < 20$
Ответ: $12 < a \cdot b < 20$.

4) a/b;Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его в виде произведения $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала оценим выражение $\frac{1}{b}$. Так как $4 < b < 5$ и все части неравенства положительны, то для обратных величин знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{4} > \frac{1}{b} > \frac{1}{5}$
Это неравенство равносильно следующему:
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
Теперь перемножим почленно неравенства $3 < a < 4$ и $\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$ (все их части положительны):
$3 \cdot \frac{1}{5} < a \cdot \frac{1}{b} < 4 \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$.

1.22. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x + y = 3, \\ 3y - x = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} |x| + y = 5, \\ x + 4y = 5. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 4, \\x - y = 2.\end{cases}$
Это линейная система, которую удобно решать методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2} = 3$
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$3 + y = 4$
$y = 4 - 3$
$y = 1$
Проверим решение, подставив $x=3$ и $y=1$ в оба исходных уравнения:
$3 + 1 = 4$ (верно)
$3 - 1 = 2$ (верно)
Ответ: $(3; 1)$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 3, \\3y - x = 1.\end{cases}$
Для удобства решения методом сложения, поменяем местами слагаемые во втором уравнении: $-x + 3y = 1$. Теперь система выглядит так:$\begin{cases}x + y = 3, \\-x + 3y = 1.\end{cases}$
Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (-x + 3y) = 3 + 1$
$4y = 4$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x + 1 = 3$
$x = 3 - 1$
$x = 2$
Проверим решение, подставив $x=2$ и $y=1$ в оба исходных уравнения:
$2 + 1 = 3$ (верно)
$3 \cdot 1 - 2 = 1$ (верно)
Ответ: $(2; 1)$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}|x| + y = 5, \\x + 4y = 5.\end{cases}$
Наличие модуля $|x|$ требует рассмотрения двух случаев.

Случай 1: $x \ge 0$
При этом условии $|x| = x$. Система принимает вид:
$\begin{cases}x + y = 5, \\x + 4y = 5.\end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(x + 4y) - (x + y) = 5 - 5$
$3y = 0$
$y = 0$
Подставим $y = 0$ в первое уравнение $x + y = 5$:
$x + 0 = 5$
$x = 5$
Найденное значение $x=5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, пара $(5; 0)$ является решением.

Случай 2: $x < 0$
При этом условии $|x| = -x$. Система принимает вид:
$\begin{cases}-x + y = 5, \\x + 4y = 5.\end{cases}$
Сложим уравнения системы:
$(-x + y) + (x + 4y) = 5 + 5$
$5y = 10$
$y = 2$
Подставим $y = 2$ во второе уравнение $x + 4y = 5$:
$x + 4 \cdot 2 = 5$
$x + 8 = 5$
$x = 5 - 8 = -3$
Найденное значение $x = -3$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, пара $(-3; 2)$ также является решением.
Проверим оба решения в исходной системе.
Для $(5; 0)$: $|5|+0=5$ и $5+4\cdot0=5$. (верно)
Для $(-3; 2)$: $|-3|+2=3+2=5$ и $-3+4\cdot2=-3+8=5$. (верно)
Ответ: $(5; 0)$, $(-3; 2)$.