Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.7. Постройте графики уравнений:

1) $y-|x|=0$;

2) $|x|+y=5$;

3) $|y|-x=0$;

4) $x+|y|=5$.

1) y - |x| = 0;

Преобразуем данное уравнение, выразив y: $y = |x|$. Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой первого координатного угла.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = -x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой второго координатного угла.

Объединив эти два луча, получим график функции $y = |x|$, который представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат.

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

2) |x| + y = 5;

Преобразуем уравнение, выразив y: $y = 5 - |x|$. Этот график можно получить из графика $y = |x|$ с помощью двух преобразований: 1. Симметричное отражение относительно оси OX, чтобы получить $y = -|x|$. 2. Сдвиг на 5 единиц вверх по оси OY, чтобы получить $y = 5 - |x|$.

Также можно построить график, раскрыв модуль:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = 5 - x$. Это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (5, 0).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = 5 - (-x) = 5 + x$. Это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (-5, 0).

График представляет собой "галочку", перевернутую вниз, с вершиной в точке (0, 5).

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей с общей вершиной в точке (0, 5): $y = 5 + x$ для $x < 0$ и $y = 5 - x$ для $x \ge 0$.

3) |y| - x = 0;

Преобразуем уравнение, выразив x: $x = |y|$. Это уравнение аналогично первому ($y=|x|$), но переменные x и y поменялись местами. Это означает, что график будет симметричен относительно оси OX (а не OY).

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$, и уравнение принимает вид $x = y$ (или $y = x$). Это луч, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти.

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $x = -y$ (или $y = -x$). Это луч, выходящий из начала координат и расположенный в четвертой координатной четверти.

График представляет собой "галочку", повернутую вправо, с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей: $x = y$ для $y \ge 0$ и $x = -y$ для $y < 0$.

4) x + |y| = 5.

Преобразуем уравнение: $|y| = 5 - x$. Поскольку левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $5 - x \ge 0$, откуда $x \le 5$. Это означает, что график целиком лежит в полуплоскости слева от вертикальной прямой $x=5$.

Раскроем модуль:

1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$, и уравнение принимает вид $y = 5 - x$. Это луч, выходящий из точки (5, 0) и направленный в левый верхний угол.

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $-y = 5 - x$, или $y = x - 5$. Это луч, выходящий из точки (5, 0) и направленный в левый нижний угол.

График представляет собой "галочку", повернутую влево, с вершиной в точке (5, 0).

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей с общей вершиной в точке (5, 0): $y = 5 - x$ для $y \ge 0$ и $y = x - 5$ для $y < 0$, при условии $x \le 5$.

1.8. Определите координаты центра и радиус окружности:

1) $x^2+y^2-6x+8y+9=0$;

2) $x^2+y^2+3x-4y=0$;

3) $x^2+y^2+7y=0$;

4) $x^2+y^2-x-y-3=0$.

Для определения координат центра и радиуса окружности необходимо привести ее общее уравнение $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ к каноническому виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a,b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Это делается с помощью метода выделения полного квадрата.

1) $x^2+y^2-6x+8y+9=0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2-6x) + (y^2+8y) + 9 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы. Для этого используем формулы сокращенного умножения $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для $x$: $x^2-6x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (x-3)^2 - 9$.

Для $y$: $y^2+8y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (y+4)^2 - 16$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 + 9 = 0$

Упростим выражение:

$(x-3)^2 + (y+4)^2 - 16 = 0$

$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 16$

Сравнивая с каноническим видом $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, находим, что центр окружности имеет координаты $(a, b) = (3, -4)$, а квадрат радиуса $R^2=16$, значит радиус $R=4$.

Ответ: центр окружности в точке $(3, -4)$, радиус $R=4$.

2) $x^2+y^2+3x-4y=0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2+3x) + (y^2-4y) = 0$

Выделим полные квадраты:

Для $x$: $x^2+3x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.

Для $y$: $y^2-4y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y-2)^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y-2)^2 - 4 = 0$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$(x+\frac{3}{2})^2 + (y-2)^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4}$

Из канонического вида уравнения следует, что центр окружности находится в точке $(a, b) = (-\frac{3}{2}, 2)$, а квадрат радиуса $R^2=\frac{25}{4}$, тогда радиус $R=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$.

Ответ: центр окружности в точке $(-\frac{3}{2}, 2)$, радиус $R=\frac{5}{2}$.

3) $x^2+y^2+7y=0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 + (y^2+7y) = 0$

Выражение с $x$ уже является квадратом $(x-0)^2$. Выделим полный квадрат для $y$:

$y^2+7y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{7}{2} + (\frac{7}{2})^2) - (\frac{7}{2})^2 = (y+\frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4}$.

Подставим в уравнение:

$(x-0)^2 + (y+\frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} = 0$

$(x-0)^2 + (y+\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$

Центр окружности находится в точке $(a, b) = (0, -\frac{7}{2})$, квадрат радиуса $R^2=\frac{49}{4}$, следовательно, радиус $R=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}$.

Ответ: центр окружности в точке $(0, -\frac{7}{2})$, радиус $R=\frac{7}{2}$.

4) $x^2+y^2-x-y-3=0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2-x) + (y^2-y) - 3 = 0$

Выделим полные квадраты:

Для $x$: $x^2-x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Для $y$: $y^2-y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (y-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Подставим в уравнение:

$(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 3 = 0$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 3 = \frac{2}{4} + 3 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$

Центр окружности находится в точке $(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, квадрат радиуса $R^2=\frac{7}{2}$, следовательно, радиус $R=\sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: центр окружности в точке $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, радиус $R=\frac{\sqrt{14}}{2}$.

1.9. Определите геометрический смысл уравнений:

1)

$x^2+3x-y+7=0;$

2)

$y^2+3y-x+7=0;$

3)

$x^2+y^2-8x+7=0;$

4)

$xy=2.$

1) Данное уравнение $x^2+3x-y+7=0$ можно преобразовать, выразив $y$ через $x$: $y = x^2+3x+7$. Это уравнение параболы вида $y=ax^2+bx+c$ с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен.
Для нахождения вершины параболы $(x_0, y_0)$ воспользуемся методом выделения полного квадрата:
$y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 7 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 7 = (x+\frac{3}{2})^2 + \frac{19}{4}$.
Из полученного уравнения $y - \frac{19}{4} = (x+\frac{3}{2})^2$ видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-\frac{3}{2}, \frac{19}{4})$ или $(-1.5, 4.75)$.
Ответ: Уравнение задает параболу с вершиной в точке $(-1.5, 4.75)$ и ветвями, направленными вверх.

2) В уравнении $y^2+3y-x+7=0$ выразим $x$ через $y$: $x = y^2+3y+7$. Это уравнение параболы вида $x=ay^2+by+c$, ось симметрии которой параллельна оси Ox. Так как коэффициент при $y^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вправо.
Найдем вершину параболы $(x_0, y_0)$, выделив полный квадрат для переменной $y$:
$x = (y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 7 = (y+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 7 = (y+\frac{3}{2})^2 + \frac{19}{4}$.
Из уравнения $x - \frac{19}{4} = (y+\frac{3}{2})^2$ следует, что вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{19}{4}, -\frac{3}{2})$ или $(4.75, -1.5)$.
Ответ: Уравнение задает параболу с вершиной в точке $(4.75, -1.5)$ и ветвями, направленными вправо.

3) Уравнение $x^2+y^2-8x+7=0$ содержит $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами, что является признаком уравнения окружности. Приведем его к каноническому виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ путем выделения полных квадратов.
Сгруппируем слагаемые с $x$: $(x^2-8x) + y^2 + 7 = 0$.
Выделим полный квадрат для $x$: $(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + y^2 + 7 = 0$.
$(x-4)^2 - 16 + y^2 + 7 = 0$.
$(x-4)^2 + y^2 - 9 = 0$.
$(x-4)^2 + y^2 = 9$.
Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a, b) = (4, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(4, 0)$ и радиусом $3$.

4) Уравнение $xy=2$ можно представить в виде $y=\frac{2}{x}$. Это каноническое уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=2$ положителен.
Асимптотами данной гиперболы являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox).
Ответ: Уравнение задает гиперболу с асимптотами, совпадающими с осями координат, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах.

1.10. Постройте графики уравнений:

1) $2x^2-4x-y+5=0$;

2) $x^2+y^2-x+5y+\frac{1}{4}=0$;

3) $x^2+y^2-\frac{8}{3}y-\frac{20}{9}=0$;

4) $x^2-8x-y+13=0$.

1) $2x^2-4x-y+5=0$

Данное уравнение является уравнением второй степени относительно переменной $x$ и первой степени относительно $y$. Следовательно, его графиком является парабола. Для построения графика преобразуем уравнение к каноническому виду параболы $y - k = a(x - h)^2$.

Выразим $y$ из уравнения:

$y = 2x^2 - 4x + 5$

Теперь выделим полный квадрат для выражения, содержащего $x$:

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

Это уравнение параболы, смещенной относительно начала координат. Ее параметры:

• Вершина находится в точке $(h, k) = (1, 3)$.
• Коэффициент при квадрате $a = 2 > 0$, что означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 1$.

Для более точного построения найдем несколько точек на параболе:

• при $x=0$, $y=2(0-1)^2+3 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• при $x=2$, $y=2(2-1)^2+3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
• при $x=-1$, $y=2(-1-1)^2+3 = 11$. Точка $(-1, 11)$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вверх.

2) $x^2+y^2-x+5y+\frac{1}{4}=0$

Данное уравнение содержит $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами, что указывает на то, что его графиком является окружность. Приведем уравнение к каноническому виду $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ — центр окружности, а $r$ — ее радиус.

Сгруппируем члены с $x$ и $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 - x) + (y^2 + 5y) + \frac{1}{4} = 0$

Для $x$: $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

Для $y$: $y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{5}{2} + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

Подставим обратно в уравнение:

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - (-\frac{5}{2}))^2 = (\frac{5}{2})^2$

Это уравнение окружности с параметрами:

• Центр в точке $(h, k) = (\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}) = (0.5, -2.5)$.
• Радиус $r = \frac{5}{2} = 2.5$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$ и радиусом $r = \frac{5}{2}$.

3) $x^2+y^2-\frac{8}{3}y-\frac{20}{9}=0$

Как и в предыдущем случае, наличие $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами говорит о том, что график — окружность. Приведем уравнение к каноническому виду.

Сгруппируем члены и выделим полный квадрат. Член с $x$ уже является полным квадратом $(x-0)^2$.

$x^2 + (y^2 - \frac{8}{3}y) - \frac{20}{9} = 0$

Для $y$: $y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{4}{3} + (\frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9}$

Подставим в исходное уравнение:

$x^2 + (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} - \frac{20}{9} = 0$

$x^2 + (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{36}{9} = 0$

$x^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = 4$

$(x - 0)^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с параметрами:

• Центр в точке $(h, k) = (0, \frac{4}{3})$.
• Радиус $r = 2$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, \frac{4}{3})$ и радиусом $r = 2$.

4) $x^2-8x-y+13=0$

Это уравнение также задает параболу, так как содержит $x$ во второй степени и $y$ в первой. Приведем его к каноническому виду, выразив $y$:

$y = x^2 - 8x + 13$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$:

$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 13$

$y = (x - 4)^2 - 3$

Это уравнение параболы со следующими параметрами:

• Вершина в точке $(h, k) = (4, -3)$.
• Коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии — прямая $x = 4$.

Найдем несколько точек для построения:

• при $x=2$, $y=(2-4)^2-3 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• при $x=3$, $y=(3-4)^2-3 = -2$. Точка $(3, -2)$.
• при $x=5$, $y=(5-4)^2-3 = -2$. Точка $(5, -2)$.
• при $x=6$, $y=(6-4)^2-3 = 1$. Точка $(6, 1)$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(4, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

1.11. Постройте графики уравнений:

1) $xy=3$;

2) $xy=-3$;

3) $x(y-2)=-3$;

4) $(x+1)(y-2)=3.

1) $xy=3$

Уравнение $xy=3$ задает функцию обратной пропорциональности, которую можно записать как $y = \frac{3}{x}$. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=3$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика, то есть прямыми, к которым он неограниченно приближается, являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox). Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

x | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 6
y | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1 | 0.5

x | -0.5 | -1 | -1.5 | -2 | -3 | -6
y | -6 | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5

Ответ: Графиком уравнения является гипербола, изображенная на рисунке.

2) $xy=-3$

Уравнение $xy=-3$ также задает гиперболу, которую можно представить как $y = \frac{-3}{x}$. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен ($k < 0$), ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами, как и в предыдущем случае, являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Составим таблицу значений для построения графика:

x | -6 | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5
y | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 6

x | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 6
y | -6 | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5

Ответ: Графиком уравнения является гипербола, изображенная на рисунке.

3) $x(y-2)=-3$

График этого уравнения можно получить из графика $xy=-3$ (рассмотренного в пункте 2) с помощью параллельного переноса. Выполним замену переменных: пусть $X = x$ и $Y = y-2$. Тогда уравнение примет вид $XY=-3$. Это означает, что график функции $xy=-3$ сдвинут так, что его новый центр симметрии находится в точке, где $X=0$ и $Y=0$. Найдем координаты нового центра в исходной системе координат:
$X = x = 0$
$Y = y-2 = 0 \implies y=2$
Таким образом, новый центр симметрии находится в точке $(0, 2)$. Новые асимптоты — это прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=2$. График уравнения $x(y-2)=-3$ — это гипербола $y=\frac{-3}{x}$, смещенная на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: Графиком является гипербола с центром в точке (0, 2) и асимптотами x=0 и y=2, изображенная на рисунке.

4) $(x+1)(y-2)=3$

График этого уравнения можно получить из графика $xy=3$ (рассмотренного в пункте 1) путем параллельного переноса. Выполним замену переменных: пусть $X = x+1$ и $Y = y-2$. Тогда уравнение примет вид $XY=3$. Это означает, что график функции $xy=3$ сдвинут так, что его новый центр симметрии находится в точке, где $X=0$ и $Y=0$. Найдем координаты нового центра в исходной системе координат:
$X = x+1 = 0 \implies x=-1$
$Y = y-2 = 0 \implies y=2$
Таким образом, новый центр симметрии находится в точке $(-1, 2)$. Новые асимптоты — это прямые $x=-1$ и $y=2$. График уравнения $(x+1)(y-2)=3$ — это гипербола $y=\frac{3}{x}$, смещенная на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.

Ответ: Графиком является гипербола с центром в точке (-1, 2) и асимптотами x=-1 и y=2, изображенная на рисунке.

1.12. Определите вершину параболы:

1) $3x^2 - 2x + y - 5 = 0;$

2) $2x^2 + 3x - y + 5 = 0.$

1) $3x^2-2x+y-5=0$

Чтобы найти вершину параболы, необходимо привести ее уравнение к стандартному виду $y = ax^2+bx+c$. Для этого выразим $y$ из данного уравнения:

$y = -3x^2+2x+5$

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = ax_0^2+bx_0+c$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a=-3$, $b=2$, $c=5$.

Сначала найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{-6} = \frac{1}{3}$

Затем подставим найденное значение $x_0$ в уравнение параболы, чтобы найти ординату (координату $y$) вершины:

$y_0 = -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) + 5 = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 5 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 5 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{1}{3} + \frac{15}{3} = \frac{16}{3}$

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{1}{3}, \frac{16}{3})$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, \frac{16}{3})$

2) $2x^2+3x-y+5=0$

Аналогично первому пункту, приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2+bx+c$. Выразим $y$:

$2x^2+3x+5 = y$

$y = 2x^2+3x+5$

Коэффициенты данного уравнения: $a=2$, $b=3$, $c=5$.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение параболы:

$y_0 = 2(-\frac{3}{4})^2 + 3(-\frac{3}{4}) + 5 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 5 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{9 - 18 + 40}{8} = \frac{31}{8}$

Следовательно, вершина данной параболы находится в точке с координатами $(-\frac{3}{4}, \frac{31}{8})$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}, \frac{31}{8})$

1.13. Напишите уравнения асимптот гиперболы:

1) $xy-x+y=2$;

2) $xy+3x-2y=8$.

1) Исходное уравнение гиперболы: $xy - x + y = 2$.
Для нахождения асимптот необходимо привести уравнение к каноническому виду для гиперболы с центром, смещенным относительно начала координат: $(x-x_0)(y-y_0) = c$. Асимптотами такой гиперболы являются прямые $x = x_0$ и $y = y_0$.
Преобразуем данное уравнение методом группировки. Для этого добавим и вычтем 1 в левой части, чтобы можно было выполнить факторизацию:
$xy - x + y - 1 + 1 = 2$
$x(y-1) + 1(y-1) = 2 - 1$
$(x+1)(y-1) = 1$
Данное уравнение представляет собой гиперболу, полученную смещением графика гиперболы $x'y'=1$ на вектор $(-1, 1)$. Центр гиперболы находится в точке $(-1, 1)$.
Асимптотами являются прямые, проходящие через центр параллельно осям координат:
$x+1 = 0 \implies x = -1$
$y-1 = 0 \implies y = 1$
Ответ: $x = -1, y = 1$.

2) Исходное уравнение гиперболы: $xy + 3x - 2y = 8$.
Приведем уравнение к каноническому виду $(x-x_0)(y-y_0) = c$. Для этого сгруппируем слагаемые.
$x(y+3) - 2y = 8$
Чтобы получить множитель $(y+3)$ во второй группе, вычтем 6 из обеих частей уравнения:
$xy + 3x - 2y - 6 = 8 - 6$
$x(y+3) - 2(y+3) = 2$
$(x-2)(y+3) = 2$
Это уравнение гиперболы с центром в точке $(2, -3)$.
Следовательно, уравнениями асимптот являются прямые:
$x-2 = 0 \implies x = 2$
$y+3 = 0 \implies y = -3$
Ответ: $x = 2, y = -3$.

В упражнениях 1.14–1.18 постройте графики заданных уравнений.

1.14. 1) $|x|=y$; 2) $x=|y|$; 3) $|x|=|y|$.

1) $|x|=y$

Рассмотрим уравнение $|x|=y$. По определению модуля, это уравнение можно представить в виде функции $y=|x|$.

Раскроем модуль, исходя из его определения:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, уравнение $y=|x|$ эквивалентно системе из двух уравнений на двух различных промежутках:

$\begin{cases} y = x, & \text{при } x \ge 0 \\ y = -x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Графиком этой системы являются два луча, выходящие из начала координат:

• $y=x$ для всех $x \ge 0$. Это луч, который является биссектрисой первого координатного угла.
• $y=-x$ для всех $x < 0$. Это луч, который является биссектрисой второго координатного угла.

Поскольку $y = |x|$, значение $y$ всегда неотрицательно ($y \ge 0$), поэтому весь график находится в верхней полуплоскости (в I и II квадрантах).

Ответ: График уравнения $y=|x|$ — это объединение двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующих "галочку" с вершиной в начале координат.

2) $x=|y|$

Рассмотрим уравнение $x=|y|$. Это уравнение симметрично предыдущему относительно прямой $y=x$.

Раскроем модуль $y$ по определению:

$|y| = \begin{cases} y, & \text{если } y \ge 0 \\ -y, & \text{если } y < 0 \end{cases}$

Следовательно, уравнение $x=|y|$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x = y, & \text{при } y \ge 0 \\ x = -y, & \text{при } y < 0 \end{cases}$

График также состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• $x=y$ (или $y=x$) для всех $y \ge 0$. Это луч, являющийся частью биссектрисы первого координатного угла.
• $x=-y$ (или $y=-x$) для всех $y < 0$. Это луч, являющийся частью биссектрисы четвертого координатного угла.

Поскольку $x = |y|$, значение $x$ всегда неотрицательно ($x \ge 0$), поэтому весь график находится в правой полуплоскости (в I и IV квадрантах).

Ответ: График уравнения $x=|y|$ — это объединение двух лучей: $x=y$ при $y \ge 0$ и $x=-y$ при $y < 0$, образующих "галочку", открытую вправо, с вершиной в начале координат.

3) $|x|=|y|$

Рассмотрим уравнение $|x|=|y|$.

Это уравнение равносильно тому, что числа $x$ и $y$ либо равны, либо противоположны. То есть, оно равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{gathered} y = x \\ y = -x \end{gathered} \right.$

График этого соотношения является объединением графиков двух прямых:

• $y=x$ — прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.
• $y=-x$ — прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов.

Вместе эти две прямые образуют крест, проходящий через начало координат.

Ответ: График уравнения $|x|=|y|$ — это пара прямых $y=x$ и $y=-x$, пересекающихся в начале координат.