Номер 1.8, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Определите координаты центра и радиус окружности:

1) $x^2+y^2-6x+8y+9=0$;

2) $x^2+y^2+3x-4y=0$;

3) $x^2+y^2+7y=0$;

4) $x^2+y^2-x-y-3=0$.

Для определения координат центра и радиуса окружности необходимо привести ее общее уравнение $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ к каноническому виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a,b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Это делается с помощью метода выделения полного квадрата.

1) $x^2+y^2-6x+8y+9=0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2-6x) + (y^2+8y) + 9 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы. Для этого используем формулы сокращенного умножения $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для $x$: $x^2-6x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (x-3)^2 - 9$.

Для $y$: $y^2+8y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (y+4)^2 - 16$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$(x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 + 9 = 0$

Упростим выражение:

$(x-3)^2 + (y+4)^2 - 16 = 0$

$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 16$

Сравнивая с каноническим видом $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, находим, что центр окружности имеет координаты $(a, b) = (3, -4)$, а квадрат радиуса $R^2=16$, значит радиус $R=4$.

Ответ: центр окружности в точке $(3, -4)$, радиус $R=4$.

2) $x^2+y^2+3x-4y=0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2+3x) + (y^2-4y) = 0$

Выделим полные квадраты:

Для $x$: $x^2+3x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.

Для $y$: $y^2-4y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y-2)^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y-2)^2 - 4 = 0$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$(x+\frac{3}{2})^2 + (y-2)^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4}$

Из канонического вида уравнения следует, что центр окружности находится в точке $(a, b) = (-\frac{3}{2}, 2)$, а квадрат радиуса $R^2=\frac{25}{4}$, тогда радиус $R=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$.

Ответ: центр окружности в точке $(-\frac{3}{2}, 2)$, радиус $R=\frac{5}{2}$.

3) $x^2+y^2+7y=0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 + (y^2+7y) = 0$

Выражение с $x$ уже является квадратом $(x-0)^2$. Выделим полный квадрат для $y$:

$y^2+7y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{7}{2} + (\frac{7}{2})^2) - (\frac{7}{2})^2 = (y+\frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4}$.

Подставим в уравнение:

$(x-0)^2 + (y+\frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} = 0$

$(x-0)^2 + (y+\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$

Центр окружности находится в точке $(a, b) = (0, -\frac{7}{2})$, квадрат радиуса $R^2=\frac{49}{4}$, следовательно, радиус $R=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}$.

Ответ: центр окружности в точке $(0, -\frac{7}{2})$, радиус $R=\frac{7}{2}$.

4) $x^2+y^2-x-y-3=0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2-x) + (y^2-y) - 3 = 0$

Выделим полные квадраты:

Для $x$: $x^2-x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Для $y$: $y^2-y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (y-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Подставим в уравнение:

$(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 3 = 0$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 3 = \frac{2}{4} + 3 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$

Центр окружности находится в точке $(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, квадрат радиуса $R^2=\frac{7}{2}$, следовательно, радиус $R=\sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: центр окружности в точке $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, радиус $R=\frac{\sqrt{14}}{2}$.