Номер 1.14, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 1.14–1.18 постройте графики заданных уравнений.

1.14. 1) $|x|=y$; 2) $x=|y|$; 3) $|x|=|y|$.

1) $|x|=y$

Рассмотрим уравнение $|x|=y$. По определению модуля, это уравнение можно представить в виде функции $y=|x|$.

Раскроем модуль, исходя из его определения:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, уравнение $y=|x|$ эквивалентно системе из двух уравнений на двух различных промежутках:

$\begin{cases} y = x, & \text{при } x \ge 0 \\ y = -x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Графиком этой системы являются два луча, выходящие из начала координат:

• $y=x$ для всех $x \ge 0$. Это луч, который является биссектрисой первого координатного угла.
• $y=-x$ для всех $x < 0$. Это луч, который является биссектрисой второго координатного угла.

Поскольку $y = |x|$, значение $y$ всегда неотрицательно ($y \ge 0$), поэтому весь график находится в верхней полуплоскости (в I и II квадрантах).

Ответ: График уравнения $y=|x|$ — это объединение двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующих "галочку" с вершиной в начале координат.

2) $x=|y|$

Рассмотрим уравнение $x=|y|$. Это уравнение симметрично предыдущему относительно прямой $y=x$.

Раскроем модуль $y$ по определению:

$|y| = \begin{cases} y, & \text{если } y \ge 0 \\ -y, & \text{если } y < 0 \end{cases}$

Следовательно, уравнение $x=|y|$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x = y, & \text{при } y \ge 0 \\ x = -y, & \text{при } y < 0 \end{cases}$

График также состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• $x=y$ (или $y=x$) для всех $y \ge 0$. Это луч, являющийся частью биссектрисы первого координатного угла.
• $x=-y$ (или $y=-x$) для всех $y < 0$. Это луч, являющийся частью биссектрисы четвертого координатного угла.

Поскольку $x = |y|$, значение $x$ всегда неотрицательно ($x \ge 0$), поэтому весь график находится в правой полуплоскости (в I и IV квадрантах).

Ответ: График уравнения $x=|y|$ — это объединение двух лучей: $x=y$ при $y \ge 0$ и $x=-y$ при $y < 0$, образующих "галочку", открытую вправо, с вершиной в начале координат.

3) $|x|=|y|$

Рассмотрим уравнение $|x|=|y|$.

Это уравнение равносильно тому, что числа $x$ и $y$ либо равны, либо противоположны. То есть, оно равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{gathered} y = x \\ y = -x \end{gathered} \right.$

График этого соотношения является объединением графиков двух прямых:

• $y=x$ — прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.
• $y=-x$ — прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов.

Вместе эти две прямые образуют крест, проходящий через начало координат.

Ответ: График уравнения $|x|=|y|$ — это пара прямых $y=x$ и $y=-x$, пересекающихся в начале координат.