Номер 1.20, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Найдите точки пересечения этого графика с прямой $y=2x$.

Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$

Функция $y = \frac{2}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Область значений — все действительные числа, кроме $y=0$. Асимптотами графика являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему:

• если $x=1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$; точка $(1; 2)$
• если $x=2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$; точка $(2; 1)$
• если $x=0.5$, то $y = \frac{2}{0.5} = 4$; точка $(0.5; 4)$
• если $x=-1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$; точка $(-1; -2)$
• если $x=-2$, то $y = \frac{2}{-2} = -1$; точка $(-2; -1)$
• если $x=-0.5$, то $y = \frac{2}{-0.5} = -4$; точка $(-0.5; -4)$

График прямой $y=2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$ и, например, точку $(1;2)$.

На рисунке ниже представлены графики функций $y = \frac{2}{x}$ (синяя гипербола) и $y=2x$ (красная прямая).

Нахождение точек пересечения этого графика с прямой $y=2x$

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух функций:

$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = 2x \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):

$2x = \frac{2}{x}$

Поскольку $x \neq 0$ (согласно области определения функции $y = \frac{2}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$2x \cdot x = 2$

$2x^2 = 2$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 1$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ в уравнение прямой $y=2x$:

Для $x_1 = 1$: $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(1; 2)$ и $(-1; -2)$. Эти точки отмечены на графике выше.

Ответ: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.