Номер 1.16, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16.

1) $y=x^2-4x+3$;

3) $y=x^2-4|x|+3$;

2) $y=|x^2-4x+3|$;

4) $y=|x^2-4|x|+3|$.

1) $y=x^2-4x+3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью OY (x=0): $y(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.

С осью OX (y=0): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1=1$, $x_2=3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Построим график, используя найденные точки: вершину $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси $x=2$ — это точка $(4, 3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке (2, -1), ветвями вверх, пересекающая ось OY в точке (0, 3) и ось OX в точках (1, 0) и (3, 0).

2) $y=|x^2-4x+3|$

График функции $y=|f(x)|$ можно получить из графика функции $y=f(x)$ следующим образом: часть графика $y=f(x)$, расположенная выше и на оси OX (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, расположенная ниже оси OX (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

Используем график функции $y=x^2-4x+3$ из пункта 1. Эта парабола находится ниже оси OX на интервале $(1, 3)$.

Следовательно, часть параболы на интервале $(1, 3)$ нужно отразить симметрично относительно оси OX. Вершина $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 1)$. Части графика при $x \le 1$ и $x \ge 3$ остаются на своих местах.

Ответ: График функции получен из параболы $y=x^2-4x+3$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $x \in (1, 3)$) относительно оси OX.

3) $y=x^2-4|x|+3$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика можно выполнить следующие шаги:

1. Построить график функции для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 4x + 3$. Это правая часть параболы из пункта 1, включая точку на оси OY.

2. Отразить полученную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Часть графика для $x \ge 0$ — это часть параболы с вершиной в $(2, -1)$, проходящая через точки $(0, 3)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Отражение этой части относительно оси OY дает нам вторую половину графика. Точка $(0, 3)$ остается на месте. Точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$ отобразятся в $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$. Вершина $(2, -1)$ отобразится во вторую вершину $(-2, -1)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY, имеет локальный максимум в точке (0, 3) и два минимума (вершины) в точках (-2, -1) и (2, -1).

4) $y=|x^2-4|x|+3|$

Этот график можно построить, применив преобразование $y=|f(x)|$ к графику функции $y=f(x)=x^2-4|x|+3$ из пункта 3.

Правило построения то же, что и в пункте 2: часть графика, лежащая ниже оси OX, отражается симметрично относительно этой оси, а остальная часть остается без изменений.

Из графика в пункте 3 видно, что функция $y=x^2-4|x|+3$ отрицательна на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$.

Следовательно, мы отражаем участки графика на этих интервалах относительно оси OX. Вершины $(-2, -1)$ и $(2, -1)$ перейдут в точки $(-2, 1)$ и $(2, 1)$, которые станут локальными максимумами. Точки пересечения с осью OX $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$ останутся на месте.

Ответ: График функции получен из графика $y=x^2-4|x|+3$ отражением его отрицательных частей (на интервалах $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$) относительно оси OX. График имеет три локальных максимума в точках (-2, 1), (0, 3) и (2, 1).