Номер 1.10, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.10. Постройте графики уравнений:

1) $2x^2-4x-y+5=0$;

2) $x^2+y^2-x+5y+\frac{1}{4}=0$;

3) $x^2+y^2-\frac{8}{3}y-\frac{20}{9}=0$;

4) $x^2-8x-y+13=0$.

1) $2x^2-4x-y+5=0$

Данное уравнение является уравнением второй степени относительно переменной $x$ и первой степени относительно $y$. Следовательно, его графиком является парабола. Для построения графика преобразуем уравнение к каноническому виду параболы $y - k = a(x - h)^2$.

Выразим $y$ из уравнения:

$y = 2x^2 - 4x + 5$

Теперь выделим полный квадрат для выражения, содержащего $x$:

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

Это уравнение параболы, смещенной относительно начала координат. Ее параметры:

• Вершина находится в точке $(h, k) = (1, 3)$.
• Коэффициент при квадрате $a = 2 > 0$, что означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 1$.

Для более точного построения найдем несколько точек на параболе:

• при $x=0$, $y=2(0-1)^2+3 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• при $x=2$, $y=2(2-1)^2+3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
• при $x=-1$, $y=2(-1-1)^2+3 = 11$. Точка $(-1, 11)$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вверх.

2) $x^2+y^2-x+5y+\frac{1}{4}=0$

Данное уравнение содержит $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами, что указывает на то, что его графиком является окружность. Приведем уравнение к каноническому виду $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ — центр окружности, а $r$ — ее радиус.

Сгруппируем члены с $x$ и $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 - x) + (y^2 + 5y) + \frac{1}{4} = 0$

Для $x$: $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

Для $y$: $y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{5}{2} + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

Подставим обратно в уравнение:

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - (-\frac{5}{2}))^2 = (\frac{5}{2})^2$

Это уравнение окружности с параметрами:

• Центр в точке $(h, k) = (\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}) = (0.5, -2.5)$.
• Радиус $r = \frac{5}{2} = 2.5$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$ и радиусом $r = \frac{5}{2}$.

3) $x^2+y^2-\frac{8}{3}y-\frac{20}{9}=0$

Как и в предыдущем случае, наличие $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами говорит о том, что график — окружность. Приведем уравнение к каноническому виду.

Сгруппируем члены и выделим полный квадрат. Член с $x$ уже является полным квадратом $(x-0)^2$.

$x^2 + (y^2 - \frac{8}{3}y) - \frac{20}{9} = 0$

Для $y$: $y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{4}{3} + (\frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9}$

Подставим в исходное уравнение:

$x^2 + (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} - \frac{20}{9} = 0$

$x^2 + (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{36}{9} = 0$

$x^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = 4$

$(x - 0)^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с параметрами:

• Центр в точке $(h, k) = (0, \frac{4}{3})$.
• Радиус $r = 2$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, \frac{4}{3})$ и радиусом $r = 2$.

4) $x^2-8x-y+13=0$

Это уравнение также задает параболу, так как содержит $x$ во второй степени и $y$ в первой. Приведем его к каноническому виду, выразив $y$:

$y = x^2 - 8x + 13$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$:

$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 13$

$y = (x - 4)^2 - 3$

Это уравнение параболы со следующими параметрами:

• Вершина в точке $(h, k) = (4, -3)$.
• Коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии — прямая $x = 4$.

Найдем несколько точек для построения:

• при $x=2$, $y=(2-4)^2-3 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• при $x=3$, $y=(3-4)^2-3 = -2$. Точка $(3, -2)$.
• при $x=5$, $y=(5-4)^2-3 = -2$. Точка $(5, -2)$.
• при $x=6$, $y=(6-4)^2-3 = 1$. Точка $(6, 1)$.

График уравнения представлен ниже:

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(4, -3)$ и ветвями, направленными вверх.