Номер 1.11, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.11. Постройте графики уравнений:

1) $xy=3$;

2) $xy=-3$;

3) $x(y-2)=-3$;

4) $(x+1)(y-2)=3.

1) $xy=3$

Уравнение $xy=3$ задает функцию обратной пропорциональности, которую можно записать как $y = \frac{3}{x}$. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=3$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика, то есть прямыми, к которым он неограниченно приближается, являются оси координат: прямая $x=0$ (ось Oy) и прямая $y=0$ (ось Ox). Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

x | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 6
y | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1 | 0.5

x | -0.5 | -1 | -1.5 | -2 | -3 | -6
y | -6 | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5

Ответ: Графиком уравнения является гипербола, изображенная на рисунке.

2) $xy=-3$

Уравнение $xy=-3$ также задает гиперболу, которую можно представить как $y = \frac{-3}{x}$. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен ($k < 0$), ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами, как и в предыдущем случае, являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Составим таблицу значений для построения графика:

x | -6 | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5
y | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 6

x | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 6
y | -6 | -3 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5

Ответ: Графиком уравнения является гипербола, изображенная на рисунке.

3) $x(y-2)=-3$

График этого уравнения можно получить из графика $xy=-3$ (рассмотренного в пункте 2) с помощью параллельного переноса. Выполним замену переменных: пусть $X = x$ и $Y = y-2$. Тогда уравнение примет вид $XY=-3$. Это означает, что график функции $xy=-3$ сдвинут так, что его новый центр симметрии находится в точке, где $X=0$ и $Y=0$. Найдем координаты нового центра в исходной системе координат:
$X = x = 0$
$Y = y-2 = 0 \implies y=2$
Таким образом, новый центр симметрии находится в точке $(0, 2)$. Новые асимптоты — это прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=2$. График уравнения $x(y-2)=-3$ — это гипербола $y=\frac{-3}{x}$, смещенная на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: Графиком является гипербола с центром в точке (0, 2) и асимптотами x=0 и y=2, изображенная на рисунке.

4) $(x+1)(y-2)=3$

График этого уравнения можно получить из графика $xy=3$ (рассмотренного в пункте 1) путем параллельного переноса. Выполним замену переменных: пусть $X = x+1$ и $Y = y-2$. Тогда уравнение примет вид $XY=3$. Это означает, что график функции $xy=3$ сдвинут так, что его новый центр симметрии находится в точке, где $X=0$ и $Y=0$. Найдем координаты нового центра в исходной системе координат:
$X = x+1 = 0 \implies x=-1$
$Y = y-2 = 0 \implies y=2$
Таким образом, новый центр симметрии находится в точке $(-1, 2)$. Новые асимптоты — это прямые $x=-1$ и $y=2$. График уравнения $(x+1)(y-2)=3$ — это гипербола $y=\frac{3}{x}$, смещенная на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.

Ответ: Графиком является гипербола с центром в точке (-1, 2) и асимптотами x=-1 и y=2, изображенная на рисунке.