Номер 1.15, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. 1) $x^2+y^2-3x-3y+2=0;$

2) $|x^2+y^2-3x-3y+4,5|=2,5;$

3) $x^2+y^2-3|x|-3|y|+2=0;$

4) $|x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5|=2,5.$

1) $x^2+y^2-3x-3y+2=0$

Данное уравнение является уравнением окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, приведем уравнение к каноническому виду $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a,b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и дополним их до полного квадрата.
Исходное уравнение: $x^2+y^2-3x-3y+2=0$.
Сгруппируем члены: $(x^2-3x) + (y^2-3y) + 2 = 0$.
Дополним до полного квадрата выражение с $x$:
$x^2 - 3x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
Аналогично для выражения с $y$:
$y^2 - 3y = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2 = 0$.
Перенесем свободные члены в правую часть:
$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - 2$.
$(x - 1,5)^2 + (y - 1,5)^2 = \frac{18}{4} - 2 = 4,5 - 2 = 2,5$.
Таким образом, мы получили уравнение окружности с центром в точке $C(1,5; 1,5)$ и квадратом радиуса $R^2 = 2,5$. Радиус окружности равен $R = \sqrt{2,5} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
График этой окружности представлен на рисунке.

Ответ: Заданное уравнение описывает окружность с центром в точке $(1,5; 1,5)$ и радиусом $R=\sqrt{2,5}$.

2) $|x^2+y^2-3x-3y+4,5|=2,5$

Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля. Для этого выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$, как и в предыдущей задаче:
$x^2+y^2-3x-3y+4,5 = (x^2-3x) + (y^2-3y) + 4,5$
$= (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2) - 1,5^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1,5 + 1,5^2) - 1,5^2 + 4,5$
$= (x-1,5)^2 - 2,25 + (y-1,5)^2 - 2,25 + 4,5$
$= (x-1,5)^2 + (y-1,5)^2$.
Теперь исходное уравнение принимает вид:
$|(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2| = 2,5$.
Выражение $(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2$ представляет собой сумму двух квадратов, поэтому оно всегда неотрицательно, т.е. $(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 \ge 0$. Следовательно, знак модуля можно опустить.
Уравнение упрощается до:
$(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 = 2,5$.
Это уравнение в точности совпадает с уравнением из задачи 1).

Ответ: Заданное уравнение описывает окружность с центром в точке $(1,5; 1,5)$ и радиусом $R=\sqrt{2,5}$.

3) $x^2+y^2-3|x|-3|y|+2=0$

Данное уравнение содержит переменные $x$ и $y$ под знаком модуля. Заметим, что $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$. Уравнение инвариантно относительно замены $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$. Это означает, что график симметричен относительно осей координат Ox и Oy.
Поэтому достаточно построить график в первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) и затем симметрично отразить его относительно осей.
В первой четверти $|x|=x$ и $|y|=y$, и уравнение принимает вид:
$x^2+y^2-3x-3y+2=0$.
Это то же уравнение окружности, что и в задаче 1): $(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 = 2,5$.
Теперь найдем, какая часть этой окружности лежит в первой четверти. Окружность с центром $C(1,5; 1,5)$ и радиусом $R=\sqrt{2,5} \approx 1,58$ пересекает оси координат.
Точки пересечения с осью Oy ($x=0$): $y^2-3y+2=0 \Rightarrow (y-1)(y-2)=0 \Rightarrow y=1, y=2$. Точки $(0,1)$ и $(0,2)$.
Точки пересечения с осью Ox ($y=0$): $x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1, x=2$. Точки $(1,0)$ и $(2,0)$.
В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) лежат две дуги этой окружности: одна соединяет точки $(1,0)$ и $(0,1)$, а другая — точки $(2,0)$ и $(0,2)$.
Полный график получается симметричным отражением этих двух дуг в остальные три четверти. В результате получаются две замкнутые кривые:
1. Внешняя кривая, образованная четырьмя дугами окружностей с радиусом $R=\sqrt{2,5}$ и центрами в точках $(\pm 1,5; \pm 1,5)$, соединяющая точки $(\pm 2, 0)$ и $(0, \pm 2)$.
2. Внутренняя кривая, образованная четырьмя дугами тех же окружностей, соединяющая точки $(\pm 1, 0)$ и $(0, \pm 1)$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух замкнутых кривых, симметричных относительно осей координат.

4) $|x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5|=2,5$

Это уравнение объединяет особенности задач 2) и 3). Как и в задаче 3), график симметричен относительно обеих координатных осей из-за наличия $|x|$ и $|y|$.
Рассмотрим уравнение в первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$). Здесь $|x|=x, |y|=y$, и уравнение принимает вид:
$|x^2+y^2-3x-3y+4,5|=2,5$.
Это уравнение идентично уравнению из задачи 2). Как мы там показали, оно эквивалентно уравнению окружности:
$(x-1,5)^2 + (y-1,5)^2 = 2,5$.
Таким образом, в первой четверти график данного уравнения совпадает с графиком из задачи 3) в первой четверти. Он состоит из двух дуг окружности: одна соединяет точки $(1,0)$ и $(0,1)$, другая — $(2,0)$ и $(0,2)$.
Полный график строится путем симметричного отражения этих двух дуг относительно осей Ox и Oy. В результате мы получаем точно такой же график, как и в задаче 3).
Другой способ: уравнение $|F(|x|, |y|)|=C$ можно разбить на два: $F(|x|, |y|)=C$ и $F(|x|, |y|)=-C$.
Первое уравнение: $x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5 = 2,5 \Rightarrow x^2+y^2-3|x|-3|y|+2=0$. Это в точности уравнение из задачи 3).
Второе уравнение: $x^2+y^2-3|x|-3|y|+4,5 = -2,5 \Rightarrow x^2+y^2-3|x|-3|y|+7=0$.Рассмотрим его в первой четверти: $x^2+y^2-3x-3y+7=0$. Выделяя полные квадраты, получим $(x-1,5)^2+(y-1,5)^2 = -2,5$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, второе уравнение не добавляет новых точек к графику.
Таким образом, множество решений для задачи 4) совпадает с множеством решений для задачи 3).

Ответ: График уравнения совпадает с графиком из предыдущей задачи и представляет собой объединение двух замкнутых кривых.