Номер 1.17, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.17. 1) $y=x^2-1;$

2) $|y|=x^2-1;$

3) $|y|=|x^2-1|.$

1) $y=x^2-1$

Для построения графика функции $y = x^2 - 1$ проанализируем её свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Данный график можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем её смещения на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Найдем ключевые точки для построения:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для функции $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_0 = -b / (2a)$, $y_0 = y(x_0)$. В нашем случае $a=1, b=0, c=-1$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot 1) = 0$
$y_0 = 0^2 - 1 = -1$
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.

2. Направление ветвей. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
- С осью OX (нули функции, при $y=0$): $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Точки пересечения $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Дополнительные точки. Для большей точности найдем еще пару точек, например, при $x=2$ и $x=-2$:
$y(2) = 2^2 - 1 = 3$, точка $(2, 3)$.
$y(-2) = (-2)^2 - 1 = 3$, точка $(-2, 3)$.

На основе этих данных строим график.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, -1)$, ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и ось OY в точке $(0, -1)$.

2) $|y|=x^2-1$

Рассмотрим уравнение $|y| = x^2 - 1$.

1. Область определения. Левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна ($|y| \ge 0$). Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x^2 - 1 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 \ge 1$, что означает $x \le -1$ или $x \ge 1$. График существует только в этих областях: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Раскрытие модуля. Уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух систем: $y = f(x)$ при $y \ge 0$ и $-y = f(x)$ при $y < 0$. В нашем случае это:
- $y = x^2 - 1$ (для $y \ge 0$)
- $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ (для $y < 0$)

3. Алгоритм построения:
- Строим график функции $y = x^2 - 1$ (как в пункте 1).
- Оставляем только ту часть графика, где $x \le -1$ или $x \ge 1$. Это соответствует участкам, где $y \ge 0$.
- Так как исходное уравнение содержит $|y|$, его график должен быть симметричен относительно оси OX. Поэтому мы отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси OX.

В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точек $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, одна пара которых направлена вверх, а другая, симметричная ей, — вниз.

Ответ: График состоит из частей парабол $y=x^2-1$ и $y=1-x^2$, определенных только для $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. График симметричен относительно оси OX.

3) $|y|=|x^2-1|$

Рассмотрим уравнение $|y| = |x^2 - 1|$.

1. Эквивалентное преобразование. Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая равносильности:
$|y|^2 = |x^2 - 1|^2$
$y^2 = (x^2 - 1)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$y = \pm(x^2 - 1)$
Это означает, что искомый график является объединением графиков двух функций: $y_1 = x^2 - 1$ и $y_2 = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$.

2. Анализ функций:
- $y = x^2 - 1$: это парабола, построенная в пункте 1. Ветви вверх, вершина в $(0, -1)$.
- $y = 1 - x^2$: это парабола, симметричная первой относительно оси OX. Ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(0, 1)$. Обе параболы пересекают ось OX в одних и тех же точках: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Построение. Строим на одной координатной плоскости обе параболы.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух парабол: $y = x^2 - 1$ (ветви вверх, вершина в $(0, -1)$) и $y = 1 - x^2$ (ветви вниз, вершина в $(0, 1)$).