Практическая работа, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

На одной системе координат постройте прямую $y = x + 2$ и параболу $y = 4 - x^2$ и приблизительно определите координаты точек пересечения. Проверьте правильность полученных ответов аналитическим способом, решив систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + y = 4, \\ y = x + 2. \end{cases}$

Построение графиков и приблизительное определение координат точек пересечения

Для решения задачи построим графики функций $y = x + 2$ и $y = 4 - x^2$ в одной системе координат.

1. График функции $y = x + 2$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
При $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x = -2$, $y = 0$. Точка $(-2, 0)$.

2. График функции $y = 4 - x^2$ — это парабола. Это стандартная парабола $y = -x^2$, ветви которой направлены вниз, смещенная на 4 единицы вверх по оси $Oy$.
Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
Найдем еще несколько точек:
При $x = 1$, $y = 4 - 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
При $x = -1$, $y = 4 - (-1)^2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
При $x = 2$, $y = 4 - 2^2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
При $x = -2$, $y = 4 - (-2)^2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Построим графики на координатной плоскости.

Из графика видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках. Приблизительные координаты этих точек: $(-2, 0)$ и $(1, 3)$.

Ответ: Приблизительные координаты точек пересечения: $(-2, 0)$ и $(1, 3)$.

Проверка правильности полученных ответов аналитическим способом

Для нахождения точных координат точек пересечения решим систему уравнений, которая соответствует данным графикам. Первое уравнение параболы $y = 4 - x^2$ эквивалентно $x^2 + y = 4$.

$$ \begin{cases} x^2 + y = 4, \\ y = x + 2. \end{cases} $$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x + 2) = 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x + 2 - 4 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в уравнение прямой $y = x + 2$.

При $x_1 = 1$:
$y_1 = 1 + 2 = 3$
Первая точка пересечения: $(1, 3)$.

При $x_2 = -2$:
$y_2 = -2 + 2 = 0$
Вторая точка пересечения: $(-2, 0)$.

Аналитическое решение дало те же координаты, что и графический метод. Следовательно, графическое определение координат было точным.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(-2, 0)$.