Страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Каков смысл способов подстановки и алгебраического суммирования решения систем уравнений?

2. Какие системы уравнений называются системами уравнений 2-го порядка?

3. Какие способы решения систем уравнений 2-го порядка вы знаете?

4. Как записывается общий вид систем уравнений, решаемых с помощью теоремы Виета? А можно ли решить эти системы способом подстановки?

1. Каков смысл способов подстановки и алгебраического суммирования решения систем уравнений?

Основной смысл обоих методов — преобразовать систему из нескольких уравнений с несколькими переменными в одно уравнение с одной переменной. Решив это одно уравнение, мы находим значение одной переменной, а затем, подставляя его обратно в исходные уравнения, находим значения остальных переменных.

Способ подстановки: Смысл этого способа заключается в том, чтобы из одного из уравнений системы выразить одну переменную через другую (или другие). Затем полученное выражение подставляется в другое уравнение системы вместо этой переменной. В результате получается уравнение, в котором количество переменных на одну меньше. Для системы из двух уравнений с двумя переменными это приводит к одному уравнению с одной переменной.

Способ алгебраического суммирования (сложения): Смысл этого метода состоит в том, чтобы путем умножения уравнений системы на некоторые числа добиться того, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами. После этого уравнения почленно складываются. В результате эта переменная "исчезает" (взаимно уничтожается), и мы снова получаем уравнение с меньшим числом переменных.

Таким образом, оба способа являются алгоритмами для последовательного исключения переменных из системы уравнений.
Ответ: Смысл способов подстановки и алгебраического суммирования заключается в исключении одной из переменных для того, чтобы свести систему из нескольких уравнений к одному уравнению с одной неизвестной, которое затем можно решить.

2. Какие системы уравнений называются системами уравнений 2-го порядка?

Системами уравнений 2-го порядка (или второй степени) называют системы, в которых хотя бы одно из уравнений является уравнением второй степени, а остальные уравнения имеют степень не выше второй. Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ является уравнением второй степени, если оно содержит хотя бы один член второй степени ($x^2$, $y^2$, $xy$) и не содержит членов более высокой степени. Общий вид уравнения второй степени с двумя переменными: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$, где хотя бы один из коэффициентов $A, B, C$ не равен нулю.
Ответ: Системами уравнений 2-го порядка называют такие системы, где по крайней мере одно уравнение является уравнением второй степени, а степень других уравнений не превышает двух.

3. Какие способы решения систем уравнений 2-го порядка вы знаете?

Для решения систем уравнений 2-го порядка используются несколько основных способов:

1. Способ подстановки: Один из самых универсальных методов. Из одного уравнения (часто из того, которое является линейным, если такое есть) выражают одну переменную через другую и подставляют в другое уравнение системы. В результате получают уравнение с одной переменной, которое, как правило, является квадратным.

2. Способ алгебраического сложения: Применяется, когда уравнения системы имеют такую структуру, что при их сложении или вычитании (возможно, после умножения на некоторые числа) удается исключить одну из переменных или получить более простое уравнение.

3. Способ введения новых переменных (замены): Очень эффективен для симметричных систем или систем, содержащих повторяющиеся выражения. Например, если в системе часто встречаются выражения $x+y$ и $xy$, их можно заменить новыми переменными $u = x+y$ и $v = xy$, решить систему относительно $u$ и $v$, а затем вернуться к исходным переменным.

4. Графический способ: Строятся графики каждого уравнения системы. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы. Для уравнений второй степени графиками являются конические сечения (окружность, эллипс, парабола, гипербола). Этот способ чаще используется для наглядной иллюстрации и определения количества решений, так как он не всегда позволяет найти точные значения.

5. Метод разложения на множители: Если одно из уравнений системы можно разложить на множители, то решение исходной системы сводится к решению нескольких более простых систем. Например, если уравнение $F(x, y) = 0$ можно представить в виде $G(x, y) \cdot H(x, y) = 0$, то система $\begin{cases} F(x, y) = 0 \\ P(x, y) = 0 \end{cases}$ равносильна совокупности двух систем: $\begin{cases} G(x, y) = 0 \\ P(x, y) = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} H(x, y) = 0 \\ P(x, y) = 0 \end{cases}$.

Ответ: Основные способы решения систем уравнений 2-го порядка: способ подстановки, способ алгебраического сложения, способ введения новых переменных и графический способ.

4. Как записывается общий вид систем уравнений, решаемых с помощью теоремы Виета? А можно ли решить эти системы способом подстановки?

Общий вид систем уравнений, которые удобно решать с помощью теоремы, обратной теореме Виета, следующий:

$$ \begin{cases} x + y = p \\ xy = q \end{cases} $$

Здесь $p$ и $q$ — некоторые известные числа. Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями приведённого квадратного уравнения $t^2 - pt + q = 0$. Решив это уравнение относительно $t$, мы находим два корня $t_1$ и $t_2$. Тогда решениями системы будут две пары чисел: $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Да, такие системы можно и даже очень просто решить способом подстановки. Продемонстрируем это:

1. Из первого уравнения $x + y = p$ выразим одну переменную, например, $y$:$y = p - x$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение $xy = q$:$x(p - x) = q$.

3. Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение:$xp - x^2 = q$$x^2 - px + q = 0$.

Как видим, мы получили то же самое квадратное уравнение, что и при использовании теоремы Виета, только относительно переменной $x$. Решив его, мы найдем значения $x_1$ и $x_2$, а затем, используя формулу $y = p - x$, найдем соответствующие значения $y_1$ и $y_2$.

Ответ: Общий вид системы, решаемой с помощью теоремы Виета: $\begin{cases} x + y = p \\ xy = q \end{cases}$. Эту систему можно решить способом подстановки; это приводит к тому же квадратному уравнению $z^2 - pz + q = 0$, что и при использовании теоремы Виета.

Практическая работа

На одной системе координат постройте прямую $y = x + 2$ и параболу $y = 4 - x^2$ и приблизительно определите координаты точек пересечения. Проверьте правильность полученных ответов аналитическим способом, решив систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + y = 4, \\ y = x + 2. \end{cases}$

Построение графиков и приблизительное определение координат точек пересечения

Для решения задачи построим графики функций $y = x + 2$ и $y = 4 - x^2$ в одной системе координат.

1. График функции $y = x + 2$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
При $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x = -2$, $y = 0$. Точка $(-2, 0)$.

2. График функции $y = 4 - x^2$ — это парабола. Это стандартная парабола $y = -x^2$, ветви которой направлены вниз, смещенная на 4 единицы вверх по оси $Oy$.
Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
Найдем еще несколько точек:
При $x = 1$, $y = 4 - 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
При $x = -1$, $y = 4 - (-1)^2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
При $x = 2$, $y = 4 - 2^2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
При $x = -2$, $y = 4 - (-2)^2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Построим графики на координатной плоскости.

Из графика видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках. Приблизительные координаты этих точек: $(-2, 0)$ и $(1, 3)$.

Ответ: Приблизительные координаты точек пересечения: $(-2, 0)$ и $(1, 3)$.

Проверка правильности полученных ответов аналитическим способом

Для нахождения точных координат точек пересечения решим систему уравнений, которая соответствует данным графикам. Первое уравнение параболы $y = 4 - x^2$ эквивалентно $x^2 + y = 4$.

$$ \begin{cases} x^2 + y = 4, \\ y = x + 2. \end{cases} $$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x + 2) = 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x + 2 - 4 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в уравнение прямой $y = x + 2$.

При $x_1 = 1$:
$y_1 = 1 + 2 = 3$
Первая точка пересечения: $(1, 3)$.

При $x_2 = -2$:
$y_2 = -2 + 2 = 0$
Вторая точка пересечения: $(-2, 0)$.

Аналитическое решение дало те же координаты, что и графический метод. Следовательно, графическое определение координат было точным.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(-2, 0)$.