Страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.1. Определите степени уравнений:

1) $4x^6-2x^7+x-1=0;$

2) $5y^2-y-2=0;$

3) $4xy+xy^2-5x^2+y=0;$

4) $8x^4y+5x^2y^2=11;$

5) $xy+xz+2y=1;$

6) $xyz-x^2-y^2-z^2=2;$

7) $(x-y)z^2+(x+y)z=z^2;$

8) $(x^2+y^2-xy)^2=xy^2;$

9) $(z^2+x-y)^3=x^2y^3z^4+1;$

10) $xyz^2+x^3-3xy^2-2z+9=0.$

Степенью алгебраического уравнения, представленного в виде $P(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$, где $P$ — многочлен от переменных $x_1, x_2, ..., x_n$, называется наивысшая степень его одночленов (членов). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

1) В уравнении $4x^6-2x^7+x-1=0$ есть одна переменная $x$. Члены уравнения имеют степени 6, 7, 1 и 0. Наибольшая степень — 7. Ответ: 7

2) В уравнении $5y^2-y-2=0$ есть одна переменная $y$. Члены уравнения имеют степени 2, 1 и 0. Наибольшая степень — 2. Ответ: 2

3) В уравнении $4xy+xy^2-5x^2+y=0$ несколько переменных. Найдем степени каждого члена, суммируя степени переменных в нем:

• Степень члена $4xy$ (или $4x^1y^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $xy^2$ (или $x^1y^2$) равна $1+2=3$.
• Степень члена $-5x^2$ равна 2.
• Степень члена $y$ (или $y^1$) равна 1.

4) В уравнении $8x^4y+5x^2y^2=11$ найдем степени членов:

• Степень члена $8x^4y$ (или $8x^4y^1$) равна $4+1=5$.
• Степень члена $5x^2y^2$ равна $2+2=4$.

5) В уравнении $xy+xz+zy=1$ найдем степени членов:

• Степень члена $xy$ (или $x^1y^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $xz$ (или $x^1z^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $zy$ (или $z^1y^1$) равна $1+1=2$.

6) В уравнении $xyz-x^2-y^2-z^2=2$ найдем степени членов:

• Степень члена $xyz$ (или $x^1y^1z^1$) равна $1+1+1=3$.
• Степень члена $-x^2$ равна 2.
• Степень члена $-y^2$ равна 2.
• Степень члена $-z^2$ равна 2.

7) Сначала преобразуем уравнение $(x-y)z^2+(x+y)z=z^2$, раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть:$xz^2-yz^2+xz+yz-z^2=0$.Теперь найдем степени членов:

• Степень члена $xz^2$ (или $x^1z^2$) равна $1+2=3$.
• Степень члена $-yz^2$ (или $-y^1z^2$) равна $1+2=3$.
• Степень члена $xz$ (или $x^1z^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $yz$ (или $y^1z^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $-z^2$ равна 2.

8) В уравнении $(x^2+y^2-xy)^2=xy^2$ нужно сначала раскрыть скобки в левой части. Чтобы найти наивысшую степень, достаточно найти член с наибольшей степенью в разложении. При возведении многочлена в квадрат, наибольшую степень будут иметь члены, полученные из возведения в квадрат или перемножения членов исходного многочлена:$(x^2)^2 = x^4$ (степень 4),$(y^2)^2 = y^4$ (степень 4),$2(x^2)(y^2) = 2x^2y^2$ (степень $2+2=4$),$2(x^2)(-xy) = -2x^3y$ (степень $3+1=4$),$2(y^2)(-xy) = -2xy^3$ (степень $1+3=4$).Степень правой части $xy^2$ равна $1+2=3$. Таким образом, наивысшая степень в уравнении равна 4. Ответ: 4

9) В уравнении $(z^2+x-y)^3=x^2y^3z^4+1$ сравним наивысшие степени в левой и правой частях.В левой части $(z^2+x-y)^3$ член с наивысшей степенью образуется при возведении в куб члена с наивысшей степенью из скобки, то есть $(z^2)^3=z^6$. Его степень равна 6.В правой части $x^2y^3z^4+1$ член с наивысшей степенью — это $x^2y^3z^4$. Его степень равна $2+3+4=9$.Так как $9 > 6$, степень всего уравнения равна 9. Ответ: 9

10) В уравнении $xyz^2+x^3-3xy^2-2z+9=0$ найдем степени членов:

• Степень члена $xyz^2$ (или $x^1y^1z^2$) равна $1+1+2=4$.
• Степень члена $x^3$ равна 3.
• Степень члена $-3xy^2$ (или $-3x^1y^2$) равна $1+2=3$.
• Степень члена $-2z$ (или $-2z^1$) равна 1.

1.2. Напишите уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$:

1) $(0; 0)$, $R=4$;

2) $(-1; 0)$, $R=2$;

3) $(2; 3)$, $R=3$.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Подставим в эту формулу заданные значения для каждого случая.

1) Дано: центр в точке $(0; 0)$ и радиус $R=4$.
Подставляем $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ и $R = 4$ в уравнение:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 4^2$
После упрощения получаем:
$x^2 + y^2 = 16$
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$

2) Дано: центр в точке $(-1; 0)$ и радиус $R=2$.
Подставляем $x_0 = -1$, $y_0 = 0$ и $R = 2$ в уравнение:
$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$
После упрощения получаем:
$(x + 1)^2 + y^2 = 4$
Ответ: $(x + 1)^2 + y^2 = 4$

3) Дано: центр в точке $(2; 3)$ и радиус $R=3$.
Подставляем $x_0 = 2$, $y_0 = 3$ и $R = 3$ в уравнение:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$
После упрощения получаем:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

1.23.

1) $ \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 7y = 39, \\ x + y = -3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 5x - 2y = -12, \\ 3x + 4y = -2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + 2y = 5, \\ -x + 7y = 13. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 5; \end{cases} $
Это простейший случай для решения методом алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 1 + 5$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:
$3 + y = 1$
$y = 1 - 3$
$y = -2$
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение:
$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$.
$5 = 5$. Равенство верное.
Ответ: $x = 3, y = -2$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 7y = 39, \\ x + y = -3; \end{cases} $
Эту систему удобно решить методом подстановки. Выразим переменную $x$ из второго уравнения:
$x = -3 - y$
Подставим полученное выражение вместо $x$ в первое уравнение системы:
$2(-3 - y) - 7y = 39$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$-6 - 2y - 7y = 39$
$-9y = 39 + 6$
$-9y = 45$
$y = \frac{45}{-9}$
$y = -5$
Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$
Выполним проверку, подставив найденные значения в первое уравнение:
$2(2) - 7(-5) = 4 + 35 = 39$.
$39 = 39$. Равенство верное.
Ответ: $x = 2, y = -5$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 2y = -12, \\ 3x + 4y = -2; \end{cases} $
Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:
$2 \cdot (5x - 2y) = 2 \cdot (-12)$
$10x - 4y = -24$
Теперь система имеет вид:
$ \begin{cases} 10x - 4y = -24, \\ 3x + 4y = -2; \end{cases} $
Сложим почленно уравнения полученной системы:
$(10x - 4y) + (3x + 4y) = -24 + (-2)$
$13x = -26$
$x = \frac{-26}{13}$
$x = -2$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение:
$3(-2) + 4y = -2$
$-6 + 4y = -2$
$4y = -2 + 6$
$4y = 4$
$y = 1$
Выполним проверку, подставив найденные значения в первое исходное уравнение:
$5(-2) - 2(1) = -10 - 2 = -12$.
$-12 = -12$. Равенство верное.
Ответ: $x = -2, y = 1$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 5, \\ -x + 7y = 13; \end{cases} $
Решим систему методом алгебраического сложения. Коэффициенты при переменной $x$ уже являются противоположными числами. Сложим почленно уравнения:
$(x + 2y) + (-x + 7y) = 5 + 13$
$9y = 18$
$y = \frac{18}{9}$
$y = 2$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы:
$x + 2(2) = 5$
$x + 4 = 5$
$x = 5 - 4$
$x = 1$
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение:
$-(1) + 7(2) = -1 + 14 = 13$.
$13 = 13$. Равенство верное.
Ответ: $x = 1, y = 2$.

1.4. Постройте графики уравнений:

1) $x^2+y^2=16;$

2) $(x-3)^2+(y-1)^2=9;$

3) $(x+2)^2+y^2=4;$

4) $y=(x-2)^2-1;$

5) $y=x^2-4x+3;$

6) $y=x^2-2.$

1)Уравнение $x^2+y^2=16$ представляет собой каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.В данном случае уравнение можно записать как $(x-0)^2+(y-0)^2=4^2$.Отсюда следует, что центр окружности находится в начале координат, точке $(0, 0)$, а ее радиус равен $R=4$.График этой окружности показан на рисунке ниже.


Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 4.

2)Уравнение $(x-3)^2+(y-1)^2=9$ также является уравнением окружности вида $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.Его можно переписать как $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$.Из этой формы видно, что центр окружности находится в точке $(a, b) = (3, 1)$, а радиус равен $R=3$.


Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(3, 1)$ и радиусом 3.

3)Уравнение $(x+2)^2+y^2=4$ — это уравнение окружности. Перепишем его в каноническом виде $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$:$(x-(-2))^2+(y-0)^2=2^2$.Отсюда видно, что центр окружности находится в точке $(a, b) = (-2, 0)$, а ее радиус $R=2$.


Ответ: Графиком является окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 2.

4)Уравнение $y=(x-2)^2-1$ задает параболу. Оно представлено в виде $y=a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.В данном случае $a=1$, $h=2$, $k=-1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.Найдем точки пересечения с осями:При $x=0$, $y=(0-2)^2-1 = 4-1=3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.При $y=0$, $0=(x-2)^2-1 \Rightarrow (x-2)^2=1 \Rightarrow x-2=\pm 1$. Отсюда $x_1=1$, $x_2=3$. Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.


Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветви которой направлены вверх.

5)Уравнение $y=x^2-4x+3$ задает параболу вида $y=ax^2+bx+c$. Для построения графика найдем координаты ее вершины $(x_v, y_v)$.Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.Ордината вершины: $y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Так как $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.Можно заметить, что это та же парабола, что и в предыдущем задании, если выделить полный квадрат:$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$.График идентичен графику из пункта 4.


Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветви которой направлены вверх.

6)Уравнение $y=x^2-2$ задает параболу. Это график стандартной параболы $y=x^2$, смещенный на 2 единицы вниз по оси OY.Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, а ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).Найдем точки пересечения с осью OX: при $y=0$, $x^2-2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.


Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх.

1.5. Какая из точек $A(1; 4)$, $B(-1; 4)$, $C\left(3; \frac{4}{3}\right)$ и $D\left(\frac{1}{2}; -8\right)$ лежит на графике уравнения $xy=4$?

Для того чтобы определить, какая из заданных точек лежит на графике уравнения $xy=4$, необходимо последовательно подставить координаты каждой точки $(x; y)$ в это уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

A(1; 4)
Подставим координаты точки A, где $x=1$ и $y=4$, в уравнение $xy=4$:
$1 \cdot 4 = 4$
$4 = 4$
Получено верное равенство. Следовательно, точка A(1; 4) лежит на графике уравнения.
Ответ: Точка A(1; 4) лежит на графике.

B(-1; 4)
Подставим координаты точки B, где $x=-1$ и $y=4$, в уравнение $xy=4$:
$(-1) \cdot 4 = -4$
Поскольку $-4 \neq 4$, равенство неверное. Следовательно, точка B(-1; 4) не лежит на графике уравнения.
Ответ: Точка B(-1; 4) не лежит на графике.

C(3; $\frac{4}{3}$)
Подставим координаты точки C, где $x=3$ и $y=\frac{4}{3}$, в уравнение $xy=4$:
$3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$
$4 = 4$
Получено верное равенство. Следовательно, точка C(3; $\frac{4}{3}$) лежит на графике уравнения.
Ответ: Точка C(3; $\frac{4}{3}$) лежит на графике.

D($\frac{1}{2}$; -8)
Подставим координаты точки D, где $x=\frac{1}{2}$ и $y=-8$, в уравнение $xy=4$:
$\frac{1}{2} \cdot (-8) = -\frac{8}{2} = -4$
Поскольку $-4 \neq 4$, равенство неверное. Следовательно, точка D($\frac{1}{2}$; -8) не лежит на графике уравнения.
Ответ: Точка D($\frac{1}{2}$; -8) не лежит на графике.

1.6. Найдите ординату точки с абсциссой, равной 3 и принадлежащей графику уравнения:

1) $x^2-2xy+2y^2+x-6y+6=0;$

2) $2xy=9;$

3) $3x-2y+4=0;$

4) $x^2-3x-y+2=0.$

Чтобы найти ординату ($y$) точки, принадлежащей графику уравнения, необходимо подставить в уравнение известное значение абсциссы ($x$), равное 3, и решить полученное уравнение относительно $y$.

1) $x^2 - 2xy + 2y^2 + x - 6y + 6 = 0$

Подставляем $x=3$ в уравнение:

$3^2 - 2(3)y + 2y^2 + 3 - 6y + 6 = 0$

$9 - 6y + 2y^2 + 3 - 6y + 6 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + (-6y - 6y) + (9 + 3 + 6) = 0$

$2y^2 - 12y + 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$y^2 - 6y + 9 = 0$

Полученное квадратное уравнение является полным квадратом разности:

$(y - 3)^2 = 0$

Из этого следует:

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Ответ: 3

2) $2xy = 9$

Подставляем $x=3$ в уравнение:

$2 \cdot 3 \cdot y = 9$

$6y = 9$

Находим $y$:

$y = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5

3) $3x - 2y + 4 = 0$

Подставляем $x=3$ в уравнение:

$3 \cdot 3 - 2y + 4 = 0$

$9 - 2y + 4 = 0$

$13 - 2y = 0$

Выражаем $y$:

$2y = 13$

$y = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: 6.5

4) $x^2 - 3x - y + 2 = 0$

Подставляем $x=3$ в уравнение:

$3^2 - 3 \cdot 3 - y + 2 = 0$

$9 - 9 - y + 2 = 0$

$-y + 2 = 0$

Находим $y$:

$y = 2$

Ответ: 2