Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.34.

1) $|x - 3| + 2|x + 1| = 4;$

2) $|5 - 2x| + |x + 3| = 2 - 3x;$

3) $|5 - x| + |x - 1| = 10;$

4) $|4 - x| + |x - 2| = 2.$

1)

Решим уравнение $|x-3| + 2|x+1| = 4$ методом интервалов.

Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x-3=0 \implies x=3$ и $x+1=0 \implies x=-1$.

Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из них.

1. При $x < -1$: оба выражения под модулем отрицательны. $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Уравнение принимает вид:

$(3-x) + 2(-x-1) = 4$

$3-x-2x-2 = 4$

$1-3x = 4$

$-3x = 3$

$x = -1$

Полученное значение $x=-1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < -1$, поэтому оно не является решением на этом интервале.

2. При $-1 \le x < 3$: выражение $x-3$ отрицательно, а $x+1$ неотрицательно. $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|x+1| = x+1$.

Уравнение принимает вид:

$(3-x) + 2(x+1) = 4$

$3-x+2x+2 = 4$

$x+5 = 4$

$x = -1$

Полученное значение $x=-1$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1; 3)$, следовательно, является решением.

3. При $x \ge 3$: оба выражения под модулем неотрицательны. $|x-3| = x-3$ и $|x+1| = x+1$.

Уравнение принимает вид:

$(x-3) + 2(x+1) = 4$

$x-3+2x+2 = 4$

$3x-1 = 4$

$3x = 5$

$x = 5/3$

Полученное значение $x = 5/3 \approx 1.67$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 3$, поэтому оно не является решением.

Единственным решением уравнения является $x=-1$.

Ответ: $-1$.

2)

Решим уравнение $|5-2x| + |x+3| = 2-3x$.

Сумма модулей в левой части всегда неотрицательна, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):

$2-3x \ge 0 \implies -3x \ge -2 \implies x \le 2/3$.

Найдем нули подмодульных выражений: $5-2x=0 \implies x=2.5$ и $x+3=0 \implies x=-3$.

С учетом ОДЗ ($x \le 2/3$), нам нужно рассмотреть два промежутка: $(-\infty; -3)$ и $[-3; 2/3]$.

1. При $x < -3$: выражение $5-2x$ положительно, а $x+3$ отрицательно. $|5-2x| = 5-2x$ и $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

Уравнение принимает вид:

$(5-2x) + (-x-3) = 2-3x$

$2-3x = 2-3x$

Это тождество, верное для всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все $x \in (-\infty; -3)$ являются решениями.

2. При $-3 \le x \le 2/3$: оба выражения под модулем неотрицательны. $5-2x > 0$ (т.к. $x \le 2/3 < 2.5$) и $x+3 \ge 0$.

$|5-2x| = 5-2x$ и $|x+3| = x+3$.

Уравнение принимает вид:

$(5-2x) + (x+3) = 2-3x$

$8-x = 2-3x$

$2x = -6$

$x = -3$

Полученное значение $x=-3$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-3; 2/3]$, следовательно, является решением.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем, что решениями являются все числа из промежутка $(-\infty; -3)$ и точка $x=-3$. Таким образом, решение - это промежуток $(-\infty; -3]$.

Ответ: $(-\infty; -3]$.

3)

Решим уравнение $|5-x| + |x-1| = 10$.

Так как $|5-x|=|x-5|$, уравнение можно переписать как $|x-5| + |x-1| = 10$.

Нули подмодульных выражений: $x=5$ и $x=1$. Точки делят числовую ось на три промежутка.

1. При $x < 1$: $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$(5-x) + (1-x) = 10$

$6-2x = 10$

$-2x = 4 \implies x = -2$.

Корень $x=-2$ принадлежит промежутку $x < 1$, значит, это решение.

2. При $1 \le x < 5$: $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x-1| = x-1$.

$(5-x) + (x-1) = 10$

$4 = 10$.

Это неверное равенство, следовательно, на этом промежутке решений нет.

3. При $x \ge 5$: $|x-5| = x-5$ и $|x-1| = x-1$.

$(x-5) + (x-1) = 10$

$2x-6 = 10$

$2x = 16 \implies x = 8$.

Корень $x=8$ принадлежит промежутку $x \ge 5$, значит, это решение.

Ответ: $-2; 8$.

4)

Решим уравнение $|4-x| + |x-2| = 2$.

Так как $|4-x|=|x-4|$, уравнение можно переписать как $|x-4| + |x-2| = 2$.

Геометрически это означает, что сумма расстояний от точки $x$ до точек 2 и 4 на числовой прямой равна 2. Расстояние между точками 2 и 4 также равно $4-2=2$. Это условие выполняется для любой точки $x$, расположенной на отрезке между 2 и 4.

Таким образом, решением является отрезок $[2, 4]$.

Проверим это алгебраически. Нули подмодульных выражений: $x=4$ и $x=2$.

1. При $x < 2$: $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

$(4-x) + (2-x) = 2 \implies 6-2x = 2 \implies -2x = -4 \implies x=2$.

Корень не входит в интервал $x < 2$.

2. При $2 \le x < 4$: $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x-2| = x-2$.

$(4-x) + (x-2) = 2 \implies 2 = 2$.

Это тождество, значит все $x$ из промежутка $[2, 4)$ являются решениями.

3. При $x \ge 4$: $|x-4| = x-4$ и $|x-2| = x-2$.

$(x-4) + (x-2) = 2 \implies 2x-6=2 \implies 2x = 8 \implies x=4$.

Корень $x=4$ принадлежит промежутку $x \ge 4$.

Объединив решения из пунктов 2 и 3, получаем отрезок $[2, 4]$.

Ответ: $[2; 4]$.

0.35. При каких значениях параметра $a$ уравнения

1) $ax^2-6x+9=0;$

2) $x^2+ax+0,25=0;$

3) $4x^2-ax+a-3=0;$

4) $(a-1)x^2-2(a+1)x+a-2=0$

имеют только один корень?

1) Рассмотрим уравнение $ax^2-6x+9=0$.
Уравнение имеет один корень в двух случаях: когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом, или когда оно вырождается в линейное уравнение.
Случай 1: Уравнение квадратное ($a \neq 0$).
Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot a \cdot 9 = 36 - 36a$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$36 - 36a = 0$
$36a = 36$
$a = 1$.
Это значение удовлетворяет условию $a \neq 0$.
Случай 2: Уравнение линейное ($a = 0$).
Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, т.е. $a=0$, уравнение становится линейным:
$0 \cdot x^2 - 6x + 9 = 0$
$-6x + 9 = 0$
$-6x = -9$
$x = 1,5$.
Это линейное уравнение имеет единственный корень. Следовательно, $a=0$ также является решением.
Объединяя оба случая, получаем два значения параметра $a$.
Ответ: $a=0; 1$.

2) Рассмотрим уравнение $x^2+ax+0,25=0$.
Коэффициент при $x^2$ равен 1, он не равен нулю, поэтому это уравнение всегда является квадратным.
Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = a^2 - 1$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$a^2 - 1 = 0$
$(a-1)(a+1) = 0$
Отсюда $a=1$ или $a=-1$.
Ответ: $a=-1; 1$.

3) Рассмотрим уравнение $4x^2-ax+a-3=0$.
Коэффициент при $x^2$ равен 4, он не равен нулю, поэтому это уравнение всегда является квадратным.
Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a-3) = a^2 - 16(a-3) = a^2 - 16a + 48$.
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$:
$a^2 - 16a + 48 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $a$ с помощью теоремы Виета: сумма корней $a_1+a_2=16$, произведение корней $a_1 \cdot a_2=48$. Подбором находим корни $a_1=4$ и $a_2=12$.
Ответ: $a=4; 12$.

4) Рассмотрим уравнение $(a-1)x^2-2(a+1)x+a-2=0$.
Уравнение имеет один корень в двух случаях: когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом, или когда оно вырождается в линейное уравнение.
Случай 1: Уравнение квадратное ($a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$).
Найдем дискриминант. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать $D/4$.
$D/4 = (b/2)^2 - ac = (-(a+1))^2 - (a-1)(a-2)$.
$D/4 = (a^2+2a+1) - (a^2-2a-a+2) = a^2+2a+1 - a^2+3a-2 = 5a-1$.
Приравняем $D/4$ к нулю:
$5a-1 = 0$
$5a = 1$
$a = \frac{1}{5}$.
Это значение удовлетворяет условию $a \neq 1$.
Случай 2: Уравнение линейное ($a-1 = 0$, то есть $a = 1$).
Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, т.е. $a=1$, подставим это значение в уравнение:
$(1-1)x^2 - 2(1+1)x + 1-2 = 0$
$0 \cdot x^2 - 4x - 1 = 0$
$-4x - 1 = 0$
$x = -1/4$.
Это линейное уравнение имеет единственный корень. Следовательно, $a=1$ также является решением.
Объединяя оба случая, получаем два значения параметра $a$.
Ответ: $a=\frac{1}{5}; 1$.

0.36. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 21x^2 + 39x - 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 > 0, \\ 7x > 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 3x - 4 < 0, \\ 3x - 12 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 7x + 10 < 0, \\ 4x - 3,6 > 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x + 7 > 0, \\ x^2 + 5x \ge 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x^2 + 5x + 20 \le 0, \\ x - 1,5 \ge 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 21x^2 + 39x - 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $21x^2 + 39x - 6 < 0$. Разделим обе части на 3 для упрощения: $7x^2 + 13x - 2 < 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + 13x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$, $x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.

Графиком функции $y = 7x^2 + 13x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=7>0$). Следовательно, неравенство $7x^2 + 13x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2; \frac{1}{7})$.

Второе неравенство системы: $x < 0$. Его решение: $x \in (-\infty; 0)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-2; \frac{1}{7}) \cap (-\infty; 0)$.

Пересечением является интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-2; 0)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 > 0, \\ 7x > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $4x^2 + 5x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 + 5x - 6 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$, $x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Парабола $y = 4x^2 + 5x - 6$ имеет ветви вверх ($a=4>0$), поэтому неравенство $4x^2 + 5x - 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $7x > 0 \implies x > 0$.

Решение второго неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -2) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)) \cap (0; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(\frac{3}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 < 0, \\ 3x - 12 > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 4 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ имеет ветви вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 - 3x - 4 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1; 4)$.

Решим второе неравенство: $3x - 12 > 0 \implies 3x > 12 \implies x > 4$.

Решение второго неравенства: $x \in (4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-1; 4) \cap (4; +\infty)$.

Интервалы не пересекаются.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 7x + 10 < 0, \\ 4x - 3,6 > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 7x + 10 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 + 7x + 10$ имеет ветви вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 7x + 10 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-5; -2)$.

Решим второе неравенство: $4x - 3,6 > 0 \implies 4x > 3,6 \implies x > 0,9$.

Решение второго неравенства: $x \in (0,9; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-5; -2) \cap (0,9; +\infty)$.

Интервалы не пересекаются.

Ответ: нет решений.

5) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 7 > 0, \\ x^2 + 5x \ge 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x + 7 > 0 \implies x > -7$.

Решение первого неравенства: $x \in (-7; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 + 5x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x+5) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x+5)=0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 5x \ge 0$ выполняется на и вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-7; +\infty) \cap ((-\infty; -5] \cup [0; +\infty))$.

Пересечение состоит из двух интервалов: $(-7; -5]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-7; -5] \cup [0; +\infty)$.

6) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x + 20 \le 0, \\ x - 1,5 \ge 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $2x^2 + 5x + 20 \le 0$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 20 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 25 - 160 = -135$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=2>0$, квадратный трехчлен $2x^2 + 5x + 20$ всегда положителен при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $2x^2 + 5x + 20 \le 0$ не имеет решений.

Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

0.37. Сократите дроби:

1) $\frac{7x^2+x-8}{7x-7}$;

2) $\frac{5a+10}{2a^2+13a+18}$;

3) $\frac{b^2-8b+15}{b^2-25}$;

4) $\frac{y^2-5y-36}{81-y^2}$;

5) $\frac{c^2-10c-11}{22+9c-c^2}$;

6) $\frac{5a^2+8a+3}{14+3a-11a^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{7x^2 + x - 8}{7x - 7}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $7x^2 + x - 8$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + x - 8 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 15}{14} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7}$.
Следовательно, $7x^2 + x - 8 = 7(x-x_1)(x-x_2) = 7(x-1)(x-(-\frac{8}{7})) = 7(x-1)(x+\frac{8}{7}) = (x-1)(7x+8)$.
Знаменатель раскладывается на множители вынесением общего множителя: $7x - 7 = 7(x - 1)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(x-1)(7x+8)}{7(x-1)}$.
Сократим общий множитель $(x-1)$: $\frac{7x+8}{7}$.
Ответ: $\frac{7x+8}{7}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5a + 10}{2a^2 + 13a + 18}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель за скобки: $5a + 10 = 5(a+2)$.
Для разложения знаменателя $2a^2 + 13a + 18$ найдем корни уравнения $2a^2 + 13a + 18 = 0$.
Дискриминант: $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 169 - 144 = 25$.
Корни: $a_1 = \frac{-13 + 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$; $a_2 = \frac{-13 - 5}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Следовательно, $2a^2 + 13a + 18 = 2(a-(-2))(a-(-\frac{9}{2})) = 2(a+2)(a+\frac{9}{2}) = (a+2)(2a+9)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{5(a+2)}{(a+2)(2a+9)}$.
Сократим общий множитель $(a+2)$: $\frac{5}{2a+9}$.
Ответ: $\frac{5}{2a+9}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{b^2 - 8b + 15}{b^2 - 25}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $b^2 - 8b + 15$ найдем корни уравнения $b^2 - 8b + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $b_1=3$ и $b_2=5$.
Следовательно, $b^2 - 8b + 15 = (b-3)(b-5)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $b^2 - 25 = b^2 - 5^2 = (b-5)(b+5)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(b-3)(b-5)}{(b-5)(b+5)}$.
Сократим общий множитель $(b-5)$: $\frac{b-3}{b+5}$.
Ответ: $\frac{b-3}{b+5}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{y^2 - 5y - 36}{81 - y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $y^2 - 5y - 36$ найдем корни уравнения $y^2 - 5y - 36 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.
Корни: $y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9$; $y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$.
Следовательно, $y^2 - 5y - 36 = (y-9)(y+4)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $81 - y^2 = 9^2 - y^2 = (9-y)(9+y)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(y-9)(y+4)}{(9-y)(9+y)}$.
Так как $(y-9) = -(9-y)$, то дробь можно переписать как $\frac{-(9-y)(y+4)}{(9-y)(9+y)}$.
Сократим общий множитель $(9-y)$: $-\frac{y+4}{9+y}$.
Ответ: $-\frac{y+4}{y+9}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{c^2 - 10c - 11}{22 + 9c - c^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $c^2 - 10c - 11$ найдем корни уравнения $c^2 - 10c - 11 = 0$. По теореме Виета, корни $c_1=11$ и $c_2=-1$.
Следовательно, $c^2 - 10c - 11 = (c-11)(c+1)$.
Для разложения знаменателя $22 + 9c - c^2$ вынесем -1 за скобки: $-(c^2 - 9c - 22)$. Найдем корни уравнения $c^2 - 9c - 22 = 0$.
Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.
Корни: $c_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11$; $c_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2$.
Следовательно, $22 + 9c - c^2 = -(c-11)(c-(-2)) = -(c-11)(c+2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(c-11)(c+1)}{-(c-11)(c+2)}$.
Сократим общий множитель $(c-11)$: $\frac{c+1}{-(c+2)} = -\frac{c+1}{c+2}$.
Ответ: $-\frac{c+1}{c+2}$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^2 + 8a + 3}{14 + 3a - 11a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $5a^2 + 8a + 3$ найдем корни уравнения $5a^2 + 8a + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Корни: $a_1 = \frac{-8 + 2}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$; $a_2 = \frac{-8 - 2}{10} = -1$.
Следовательно, $5a^2 + 8a + 3 = 5(a-(-\frac{3}{5}))(a-(-1)) = 5(a+\frac{3}{5})(a+1) = (5a+3)(a+1)$.
Для разложения знаменателя $14 + 3a - 11a^2$ вынесем -11 за скобки: $-11(a^2 - \frac{3}{11}a - \frac{14}{11})$. Найдем корни уравнения $11a^2 - 3a - 14 = 0$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625$.
Корни: $a_1 = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$; $a_2 = \frac{3 - 25}{22} = -1$.
Следовательно, $14 + 3a - 11a^2 = -11(a-\frac{14}{11})(a-(-1)) = -(11a-14)(a+1) = (14-11a)(a+1)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(5a+3)(a+1)}{(14-11a)(a+1)}$.
Сократим общий множитель $(a+1)$: $\frac{5a+3}{14-11a}$.
Ответ: $\frac{5a+3}{14-11a}$

0.38. Докажите, что квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ принимает только положительные значения при $a>0$ и $D=b^2-4ac<0$.

Для доказательства того, что квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только положительные значения при заданных условиях, преобразуем ее выражение, выделив полный квадрат.

Вынесем коэффициент $a$ за скобки (по определению квадратичной функции $a \ne 0$):$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив и вычтя слагаемое $(\frac{b}{2a})^2$:$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

Свернем полный квадрат и раскроем внешние скобки:$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

Упростим выражение и приведем последние два слагаемых к общему знаменателю:$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Заметим, что $b^2 - 4ac$ — это дискриминант $D$. Следовательно, $4ac - b^2 = -(b^2 - 4ac) = -D$. Подставим это в формулу:$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{D}{4a}$

Теперь проанализируем полученное выражение, используя условия из задачи: $a > 0$ и $D < 0$.

1. Выражение $(x + \frac{b}{2a})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно для любого $x$: $(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$.

2. По условию коэффициент $a > 0$. Произведение положительного числа на неотрицательное также неотрицательно, поэтому первое слагаемое $a(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$.

3. Рассмотрим второе слагаемое $-\frac{D}{4a}$. По условию $D < 0$, значит, числитель $-D$ является строго положительным числом ($-D > 0$). Также по условию $a > 0$, значит, знаменатель $4a$ тоже строго положителен ($4a > 0$). Отношение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $-\frac{D}{4a} > 0$.

В результате мы представили функцию $y$ в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое, $a(x + \frac{b}{2a})^2$, неотрицательно, а второе, $-\frac{D}{4a}$, строго положительно. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда будет строго положительным числом.

Таким образом, для любого действительного $x$ значение функции $y$ будет больше нуля, что и требовалось доказать.

Ответ: Мы преобразовали функцию к виду $y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{D}{4a}$. При условиях $a > 0$ и $D < 0$ имеем, что первое слагаемое $a(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$, а второе слагаемое $-\frac{D}{4a} > 0$. Сумма неотрицательного и положительного числа всегда положительна, следовательно, $y > 0$ для всех $x$, что и доказывает утверждение.

0.39. Докажите, что квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ принимает только отрицательные значения при $a<0$ и $D=b^2-4ac<0$.

Для доказательства того, что квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только отрицательные значения при заданных условиях, можно использовать два подхода: алгебраический (через преобразование выражения) и геометрический (через анализ графика функции).

1. Алгебраическое доказательство (выделение полного квадрата)

Преобразуем выражение для квадратичной функции, выделив в нем полный квадрат.

Вынесем коэффициент $a$ за скобки у первых двух слагаемых:
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем слагаемое $(\frac{b}{2a})^2$:
$y = a \left( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right) + c$

Теперь свернем полный квадрат по формуле $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:
$y = a \left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$

Раскроем скобки, умножив на $a$, и сгруппируем постоянные члены:
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-b^2 + 4ac}{4a}$

В числителе дроби находится выражение, противоположное дискриминанту $D = b^2 - 4ac$. То есть, $-b^2 + 4ac = -(b^2 - 4ac) = -D$.
Подставим это в формулу:
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{D}{4a}$

Теперь проанализируем полученное выражение, используя условия из задачи: $a < 0$ и $D < 0$.
- Первое слагаемое $a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$. Выражение $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ является квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \ge 0$. Так как по условию $a < 0$, то произведение отрицательного числа $a$ на неотрицательное число будет всегда неположительным: $a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \le 0$.
- Второе слагаемое $-\frac{D}{4a}$. По условию $D < 0$ и $a < 0$. Знаменатель $4a$ также будет отрицательным. Частное двух отрицательных чисел $\frac{D}{4a}$ является положительным числом: $\frac{D}{4a} > 0$. Следовательно, выражение $-\frac{D}{4a}$ (с минусом перед дробью) будет строго отрицательным: $-\frac{D}{4a} < 0$.

В итоге, значение функции $y$ равно сумме неположительного слагаемого (≤ 0) и строго отрицательного слагаемого (< 0). Такая сумма всегда будет строго отрицательной.
Наибольшее значение функции достигается при $x = -\frac{b}{2a}$, когда первое слагаемое равно нулю. Это значение равно $y_{max} = -\frac{D}{4a}$. Поскольку мы доказали, что $-\frac{D}{4a} < 0$, то максимальное значение функции отрицательно. А если максимальное значение отрицательно, то и все остальные значения функции также отрицательны.

2. Геометрическое доказательство

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола.
- Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
- Условие $D = b^2 - 4ac < 0$ означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это означает, что график функции (парабола) не пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Парабола, ветви которой направлены вниз и которая не имеет точек пересечения с осью $Ox$, целиком расположена под этой осью. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ будет отрицательным.

Оба способа доказывают утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. При условиях $a < 0$ и $D < 0$ квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только отрицательные значения. Это следует из того, что ее максимальное значение, равное $y_{max} = -\frac{D}{4a}$, является отрицательным числом, а также из того, что ее график (парабола с ветвями вниз) полностью расположен ниже оси абсцисс.

0.40. Постройте графики функций:

1) $y=|2-x^2|$;

2) $y=|x^2+x-2|$;

3) $y=5x^2-7|x|+2$;

4) $y=2x^2-5|x|-3.$

1) $y=|2-x^2|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$, сначала строим график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражаем относительно этой оси.

В данном случае $f(x) = 2 - x^2$.

1. Построим график функции $y = 2 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Корни уравнения $2 - x^2 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$. Это точки пересечения с осью Ox.

2. Теперь применим модуль.

- Если $2 - x^2 \ge 0$, то есть при $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$, график $y = |2 - x^2|$ совпадает с графиком $y = 2 - x^2$.

- Если $2 - x^2 < 0$, то есть при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$, график $y = |2 - x^2|$ получается отражением графика $y = 2 - x^2$ относительно оси Ox. Это соответствует функции $y = -(2 - x^2) = x^2 - 2$.

Итоговый график состоит из центральной части параболы $y = 2 - x^2$ (между $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$) и двух ветвей параболы $y = x^2 - 2$ (при $|x| > \sqrt{2}$).

Ответ: График функции $y = |2 - x^2|$ представляет собой "W-образную" кривую, симметричную относительно оси Oy, с вершиной (локальным максимумом) в точке $(0, 2)$ и точками излома (минимумами) в $(\pm\sqrt{2}, 0)$.

2) $y=|x^2+x-2|$

Используем тот же подход, что и в первом задании.

1. Строим график параболы $y = x^2 + x - 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$).

- Координаты вершины: $x_v = -b/(2a) = -1/2 = -0.5$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Вершина: $(-0.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осью Ox (корни): $x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 1$.

2. Применяем модуль.

- При $x \le -2$ или $x \ge 1$, выражение $x^2 + x - 2 \ge 0$, поэтому график $y = |x^2+x-2|$ совпадает с $y = x^2+x-2$.

- При $-2 < x < 1$, выражение $x^2 + x - 2 < 0$, поэтому график $y = |x^2+x-2|$ получается отражением графика $y = x^2+x-2$ относительно оси Ox. Это соответствует функции $y = -(x^2+x-2) = -x^2-x+2$.

Итоговый график состоит из двух ветвей параболы $y = x^2+x-2$ и отраженного участка этой же параболы между корнями. Вершина исходной параболы $(-0.5, -2.25)$ отражается в точку $(-0.5, 2.25)$, которая становится локальным максимумом.

Ответ: График имеет два минимума (точки излома) на оси Ox в точках $(-2, 0)$ и $(1, 0)$, и локальный максимум в точке $(-0.5, 2.25)$.

3) $y=5x^2-7|x|+2$

Данная функция является чётной, так как $y(-x) = 5(-x)^2 - 7|-x| + 2 = 5x^2 - 7|x| + 2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

1. Построим часть графика для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 5x^2 - 7x + 2$.

- Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-7)/(2 \cdot 5) = 0.7$. $y_v = 5(0.7)^2 - 7(0.7) + 2 = 2.45 - 4.9 + 2 = -0.45$. Вершина: $(0.7, -0.45)$.

- Корни уравнения $5x^2 - 7x + 2 = 0$: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49-40}}{10} = \frac{7 \pm 3}{10}$. Корни $x_1 = 0.4$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

- При $x=0$, $y=2$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

2. Для $x \ge 0$ график начинается в точке $(0, 2)$, спускается до минимума в $(0.7, -0.45)$, пересекая ось Ox в точке $(0.4, 0)$, а затем поднимается, пересекая ось Ox в точке $(1, 0)$.

3. Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Появятся второй минимум в точке $(-0.7, -0.45)$ и еще два корня $x=-0.4$ и $x=-1$.

Ответ: График "W-образной" формы, симметричен относительно оси Oy. Имеет два минимума в точках $(\pm 0.7, -0.45)$ и локальный максимум (излом) в точке $(0, 2)$.

4) $y=2x^2-5|x|-3$

Эта функция также является чётной, так как содержит $|x|$ и $x^2$. Её график симметричен относительно оси Oy.

1. Построим график для $x \ge 0$. В этом случае $|x|=x$, и функция имеет вид $y = 2x^2 - 5x - 3$.

- Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-5)/(2 \cdot 2) = 5/4 = 1.25$. $y_v = 2(1.25)^2 - 5(1.25) - 3 = 2(1.5625) - 6.25 - 3 = 3.125 - 9.25 = -6.125$. Вершина: $(1.25, -6.125)$.

- Корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -0.5$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x = 3$.

- При $x=0$, $y=-3$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.

2. Для $x \ge 0$ график начинается в точке $(0, -3)$, спускается до минимума в $(1.25, -6.125)$ и затем поднимается, пересекая ось Ox в точке $(3, 0)$.

3. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Получаем второй минимум в $(-1.25, -6.125)$ и второй корень $x = -3$.

Ответ: График "W-образной" формы, симметричен относительно оси Oy. Имеет два минимума в точках $(\pm 1.25, -6.125)$ и локальный максимум (излом) в точке $(0, -3)$.