Номер 0.39, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.39. Докажите, что квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ принимает только отрицательные значения при $a<0$ и $D=b^2-4ac<0$.

Для доказательства того, что квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только отрицательные значения при заданных условиях, можно использовать два подхода: алгебраический (через преобразование выражения) и геометрический (через анализ графика функции).

1. Алгебраическое доказательство (выделение полного квадрата)

Преобразуем выражение для квадратичной функции, выделив в нем полный квадрат.

Вынесем коэффициент $a$ за скобки у первых двух слагаемых:
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем слагаемое $(\frac{b}{2a})^2$:
$y = a \left( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right) + c$

Теперь свернем полный квадрат по формуле $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:
$y = a \left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$

Раскроем скобки, умножив на $a$, и сгруппируем постоянные члены:
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-b^2 + 4ac}{4a}$

В числителе дроби находится выражение, противоположное дискриминанту $D = b^2 - 4ac$. То есть, $-b^2 + 4ac = -(b^2 - 4ac) = -D$.
Подставим это в формулу:
$y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{D}{4a}$

Теперь проанализируем полученное выражение, используя условия из задачи: $a < 0$ и $D < 0$.
- Первое слагаемое $a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$. Выражение $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ является квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \ge 0$. Так как по условию $a < 0$, то произведение отрицательного числа $a$ на неотрицательное число будет всегда неположительным: $a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \le 0$.
- Второе слагаемое $-\frac{D}{4a}$. По условию $D < 0$ и $a < 0$. Знаменатель $4a$ также будет отрицательным. Частное двух отрицательных чисел $\frac{D}{4a}$ является положительным числом: $\frac{D}{4a} > 0$. Следовательно, выражение $-\frac{D}{4a}$ (с минусом перед дробью) будет строго отрицательным: $-\frac{D}{4a} < 0$.

В итоге, значение функции $y$ равно сумме неположительного слагаемого (≤ 0) и строго отрицательного слагаемого (< 0). Такая сумма всегда будет строго отрицательной.
Наибольшее значение функции достигается при $x = -\frac{b}{2a}$, когда первое слагаемое равно нулю. Это значение равно $y_{max} = -\frac{D}{4a}$. Поскольку мы доказали, что $-\frac{D}{4a} < 0$, то максимальное значение функции отрицательно. А если максимальное значение отрицательно, то и все остальные значения функции также отрицательны.

2. Геометрическое доказательство

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола.
- Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
- Условие $D = b^2 - 4ac < 0$ означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это означает, что график функции (парабола) не пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Парабола, ветви которой направлены вниз и которая не имеет точек пересечения с осью $Ox$, целиком расположена под этой осью. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ будет отрицательным.

Оба способа доказывают утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. При условиях $a < 0$ и $D < 0$ квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только отрицательные значения. Это следует из того, что ее максимальное значение, равное $y_{max} = -\frac{D}{4a}$, является отрицательным числом, а также из того, что ее график (парабола с ветвями вниз) полностью расположен ниже оси абсцисс.