Номер 0.32, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.32.

1) $x^4+x^3-4x^2+x+1=0;$

2) $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0;$

3) $x^3-3x^2-3x+1=0;$

4) $3x^3-7x^2-7x+3=0;$

5) $5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0;$

6) $x^4+5x^3+4x^2-5x+1=0.$

1) Дано уравнение $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$.
Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны. Поскольку $x=0$ не является корнем уравнения, мы можем разделить обе его части на $x^2$:
$x^2+x-4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})-4=0$
Введем новую переменную $y = x+\frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x+\frac{1}{x})^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$, откуда следует, что $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
Подставим это в сгруппированное уравнение:
$(y^2-2)+y-4=0$
$y^2+y-6=0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни. По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=-3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая:
1. $y=2$:
$x+\frac{1}{x}=2$
Умножим на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$):
$x^2+1=2x$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
Отсюда получаем корень $x_1=1$ кратности 2.
2. $y=-3$:
$x+\frac{1}{x}=-3$
$x^2+1=-3x$
$x^2+3x+1=0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9-4=5$
$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.
Ответ: $1, \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2) Дано уравнение $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$.
Это также симметричное уравнение четвертой степени. Делим на $x^2$ ($x=0$ не является корнем):
$6x^2+5x-38+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$
$6(x^2+\frac{1}{x^2})+5(x+\frac{1}{x})-38=0$
Сделаем замену $y = x+\frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$6(y^2-2)+5y-38=0$
$6y^2-12+5y-38=0$
$6y^2+5y-50=0$
Решим квадратное уравнение для $y$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
$y = \frac{-5 \pm 35}{12}$
$y_1 = \frac{-5+35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$
$y_2 = \frac{-5-35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}$
Возвращаемся к переменной $x$:
1. $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2} \implies 2x^2-5x+2=0$. Корни этого уравнения $x_1=2, x_2=\frac{1}{2}$.
2. $x+\frac{1}{x}=-\frac{10}{3} \implies 3x^2+10x+3=0$. Корни этого уравнения $x_3=-3, x_4=-\frac{1}{3}$.
Ответ: $2, \frac{1}{2}, -3, -\frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение $x^3-3x^2-3x+1=0$.
Это симметричное уравнение третьей степени. У таких уравнений всегда есть корень $x=-1$. Сделаем проверку:
$(-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0$. Верно.
Следовательно, многочлен $x^3-3x^2-3x+1$ делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком):
$(x^3-3x^2-3x+1) \div (x+1) = x^2-4x+1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x+1)(x^2-4x+1)=0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1. $x+1=0 \implies x_1=-1$.
2. $x^2-4x+1=0$. Решим это квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16-4=12$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$x_2 = 2+\sqrt{3}, x_3 = 2-\sqrt{3}$.
Ответ: $-1, 2 \pm \sqrt{3}$.

4) Дано уравнение $3x^3-7x^2-7x+3=0$.
Это симметричное уравнение третьей степени, у которого $x=-1$ является корнем. Проверка:
$3(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 3 = -3 - 7 + 7 + 3 = 0$.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(3x^3-7x^2-7x+3) \div (x+1) = 3x^2-10x+3$.
Получаем уравнение:
$(x+1)(3x^2-10x+3)=0$
Отсюда либо $x_1=-1$, либо $3x^2-10x+3=0$.
Решим квадратное уравнение $3x^2-10x+3=0$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100-36=64=8^2$
$x = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.
$x_2 = \frac{18}{6}=3$, $x_3 = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
Ответ: $-1, 3, \frac{1}{3}$.

5) Дано уравнение $5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0$.
Это симметричное уравнение четвертой степени. Разделим на $x^2$:
$5x^2-12x+11-\frac{12}{x}+\frac{5}{x^2}=0$
$5(x^2+\frac{1}{x^2})-12(x+\frac{1}{x})+11=0$
Применим замену $y = x+\frac{1}{x}$, из которой $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$5(y^2-2)-12y+11=0$
$5y^2-10-12y+11=0$
$5y^2-12y+1=0$
Решим это уравнение относительно $y$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 144-20=124$
$y = \frac{12 \pm \sqrt{124}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{31}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{5}$.
Вернемся к $x$:
1. $y = \frac{6 + \sqrt{31}}{5}$. Решаем уравнение $x+\frac{1}{x}=\frac{6 + \sqrt{31}}{5}$, или $5x^2 - (6+\sqrt{31})x + 5 = 0$.
Дискриминант $D_x = (6+\sqrt{31})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 36+12\sqrt{31}+31-100 = 12\sqrt{31}-33$. Так как $(12\sqrt{31})^2 > 33^2$, дискриминант положителен.
Корни: $x_{1,2} = \frac{6+\sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31}-33}}{10}$.
2. $y = \frac{6 - \sqrt{31}}{5}$. Решаем уравнение $x+\frac{1}{x}=\frac{6 - \sqrt{31}}{5}$, или $5x^2 - (6-\sqrt{31})x + 5 = 0$.
Дискриминант $D_x = (6-\sqrt{31})^2 - 100 = 36-12\sqrt{31}+31-100 = -33-12\sqrt{31} < 0$.
В этом случае действительных корней нет. Комплексные корни: $x_{3,4} = \frac{6-\sqrt{31} \pm i\sqrt{33+12\sqrt{31}}}{10}$.
Ответ: $\frac{6+\sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31}-33}}{10}, \frac{6-\sqrt{31} \pm i\sqrt{33+12\sqrt{31}}}{10}$.

6) Дано уравнение $x^4+5x^3+4x^2-5x+1=0$.
Это уравнение является кососимметричным, так как коэффициенты при $x^k$ и $x^{n-k}$ равны по модулю, но противоположны по знаку (кроме крайних и центрального). Метод решения похож на решение симметричных уравнений. Разделим на $x^2$ ($x=0$ не корень):
$x^2+5x+4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2+\frac{1}{x^2})+5(x-\frac{1}{x})+4=0$
Введем замену $y = x-\frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x-\frac{1}{x})^2 = x^2-2+\frac{1}{x^2}$, откуда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2+2$.
Подставим в уравнение:
$(y^2+2)+5y+4=0$
$y^2+5y+6=0$
Корни этого квадратного уравнения: $y_1=-2$ и $y_2=-3$.
Вернемся к переменной $x$:
1. $y=-2$:
$x-\frac{1}{x}=-2 \implies x^2+2x-1=0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
2. $y=-3$:
$x-\frac{1}{x}=-3 \implies x^2+3x-1=0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.