Номер 0.35, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.35. При каких значениях параметра $a$ уравнения

1) $ax^2-6x+9=0;$

2) $x^2+ax+0,25=0;$

3) $4x^2-ax+a-3=0;$

4) $(a-1)x^2-2(a+1)x+a-2=0$

имеют только один корень?

1) Рассмотрим уравнение $ax^2-6x+9=0$.
Уравнение имеет один корень в двух случаях: когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом, или когда оно вырождается в линейное уравнение.
Случай 1: Уравнение квадратное ($a \neq 0$).
Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot a \cdot 9 = 36 - 36a$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$36 - 36a = 0$
$36a = 36$
$a = 1$.
Это значение удовлетворяет условию $a \neq 0$.
Случай 2: Уравнение линейное ($a = 0$).
Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, т.е. $a=0$, уравнение становится линейным:
$0 \cdot x^2 - 6x + 9 = 0$
$-6x + 9 = 0$
$-6x = -9$
$x = 1,5$.
Это линейное уравнение имеет единственный корень. Следовательно, $a=0$ также является решением.
Объединяя оба случая, получаем два значения параметра $a$.
Ответ: $a=0; 1$.

2) Рассмотрим уравнение $x^2+ax+0,25=0$.
Коэффициент при $x^2$ равен 1, он не равен нулю, поэтому это уравнение всегда является квадратным.
Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = a^2 - 1$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$a^2 - 1 = 0$
$(a-1)(a+1) = 0$
Отсюда $a=1$ или $a=-1$.
Ответ: $a=-1; 1$.

3) Рассмотрим уравнение $4x^2-ax+a-3=0$.
Коэффициент при $x^2$ равен 4, он не равен нулю, поэтому это уравнение всегда является квадратным.
Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a-3) = a^2 - 16(a-3) = a^2 - 16a + 48$.
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$:
$a^2 - 16a + 48 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $a$ с помощью теоремы Виета: сумма корней $a_1+a_2=16$, произведение корней $a_1 \cdot a_2=48$. Подбором находим корни $a_1=4$ и $a_2=12$.
Ответ: $a=4; 12$.

4) Рассмотрим уравнение $(a-1)x^2-2(a+1)x+a-2=0$.
Уравнение имеет один корень в двух случаях: когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом, или когда оно вырождается в линейное уравнение.
Случай 1: Уравнение квадратное ($a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$).
Найдем дискриминант. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать $D/4$.
$D/4 = (b/2)^2 - ac = (-(a+1))^2 - (a-1)(a-2)$.
$D/4 = (a^2+2a+1) - (a^2-2a-a+2) = a^2+2a+1 - a^2+3a-2 = 5a-1$.
Приравняем $D/4$ к нулю:
$5a-1 = 0$
$5a = 1$
$a = \frac{1}{5}$.
Это значение удовлетворяет условию $a \neq 1$.
Случай 2: Уравнение линейное ($a-1 = 0$, то есть $a = 1$).
Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, т.е. $a=1$, подставим это значение в уравнение:
$(1-1)x^2 - 2(1+1)x + 1-2 = 0$
$0 \cdot x^2 - 4x - 1 = 0$
$-4x - 1 = 0$
$x = -1/4$.
Это линейное уравнение имеет единственный корень. Следовательно, $a=1$ также является решением.
Объединяя оба случая, получаем два значения параметра $a$.
Ответ: $a=\frac{1}{5}; 1$.