Номер 0.33, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.33.

1) $\sqrt{y+2} - \sqrt{y-6} = 2;$

2) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2;$

3) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2;$

4) $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7;$

5) $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1;$

6) $\sqrt{3x-2} = 2\sqrt{x+2} - 2.$

1) $\sqrt{y+2} - \sqrt{y-6} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными.

$y+2 \ge 0 \Rightarrow y \ge -2$

$y-6 \ge 0 \Rightarrow y \ge 6$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $y \ge 6$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt{y+2} = 2 + \sqrt{y-6}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{y+2})^2 = (2 + \sqrt{y-6})^2$

$y+2 = 4 + 4\sqrt{y-6} + (y-6)$

Упростим полученное выражение:

$y+2 = y - 2 + 4\sqrt{y-6}$

Изолируем оставшийся корень:

$4 = 4\sqrt{y-6}$

$1 = \sqrt{y-6}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{y-6})^2$

$1 = y-6$

$y = 7$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ. $7 \ge 6$, условие выполняется.

Проверим решение, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{7+2} - \sqrt{7-6} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

$2=2$. Равенство верно.

Ответ: $7$.

2) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2$

Найдем ОДЗ:

$22-x \ge 0 \Rightarrow x \le 22$

$10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$

Общая ОДЗ: $x \le 10$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{22-x} = 2 + \sqrt{10-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{22-x})^2 = (2 + \sqrt{10-x})^2$

$22-x = 4 + 4\sqrt{10-x} + (10-x)$

$22-x = 14-x + 4\sqrt{10-x}$

Упростим и изолируем корень:

$22-14 = 4\sqrt{10-x}$

$8 = 4\sqrt{10-x}$

$2 = \sqrt{10-x}$

Снова возведем в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10-x})^2$

$4 = 10-x$

$x = 6$

Проверим ОДЗ. $6 \le 10$, условие выполняется.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{22-6} - \sqrt{10-6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

$2=2$. Равенство верно.

Ответ: $6$.

3) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2$

Найдем ОДЗ:

$3x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/3$

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Общая ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1}$

Возведем обе части в квадрат:

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + (x-1)$

$3x+1 = x+3 + 4\sqrt{x-1}$

Изолируем корень:

$2x-2 = 4\sqrt{x-1}$

$x-1 = 2\sqrt{x-1}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x-1)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$

$(x-1)^2 = 4(x-1)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$(x-1)^2 - 4(x-1) = 0$

$(x-1)(x-1-4) = 0$

$(x-1)(x-5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=1$, $x_2=5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \ge 1$ и $5 \ge 1$).

Проверим оба корня:

Для $x=1$: $\sqrt{3(1)+1} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.

Для $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $1; 5$.

4) $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7$

Найдем ОДЗ:

$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

$3x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2/3$

Общая ОДЗ: $x \ge 2/3$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x+3} = 7 - \sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x+3 = (7 - \sqrt{3x-2})^2$

$x+3 = 49 - 14\sqrt{3x-2} + (3x-2)$

$x+3 = 3x+47 - 14\sqrt{3x-2}$

Изолируем оставшийся корень:

$14\sqrt{3x-2} = 2x+44$

$7\sqrt{3x-2} = x+22$

Снова возведем в квадрат:

$(7\sqrt{3x-2})^2 = (x+22)^2$

$49(3x-2) = x^2+44x+484$

$147x-98 = x^2+44x+484$

$x^2 - 103x + 582 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-103)^2 - 4(1)(582) = 10609 - 2328 = 8281 = 91^2$

$x = \frac{103 \pm 91}{2}$

$x_1 = \frac{103+91}{2} = \frac{194}{2} = 97$

$x_2 = \frac{103-91}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Проверим корни. При возведении в квадрат $\sqrt{x+3} = 7 - \sqrt{3x-2}$ правая часть должна быть неотрицательной: $7 - \sqrt{3x-2} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{3x-2} \le 7 \Rightarrow 3x-2 \le 49 \Rightarrow 3x \le 51 \Rightarrow x \le 17$.

Корень $x_1=97$ не удовлетворяет условию $x \le 17$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2/3$) и условию $6 \le 17$.

Проверим $x=6$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{6+3} + \sqrt{3(6)-2} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$.

$7=7$. Верно.

Ответ: $6$.

5) $\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1$

Найдем ОДЗ:

$x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

$2x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3/2$

Общая ОДЗ: $x \ge -1$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1}$

Поскольку левая часть неотрицательна, правая тоже должна быть неотрицательной: $1 - \sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow 1 \ge \sqrt{x+1} \Rightarrow 1 \ge x+1 \Rightarrow x \le 0$.

С учетом ОДЗ, получаем, что возможное решение должно лежать в интервале $x \in [-1, 0]$.

Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1}$:

$2x+3 = (1 - \sqrt{x+1})^2$

$2x+3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x+3 = x+2 - 2\sqrt{x+1}$

Изолируем корень:

$x+1 = -2\sqrt{x+1}$

Снова, левая часть $x+1$ и правая $-2\sqrt{x+1}$ должны иметь одинаковый знак. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, правая часть $\le 0$. Значит, и левая часть $x+1 \le 0 \Rightarrow x \le -1$.

Из условий $x \in [-1, 0]$ и $x \le -1$ следует, что единственным возможным решением является $x=-1$.

Проверим $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{0} + \sqrt{1} = 0+1=1$.

$1=1$. Верно.

Ответ: $-1$.

6) $\sqrt{3x-2} = 2\sqrt{x+2} - 2$

Найдем ОДЗ:

$3x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2/3$

$x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$

Общая ОДЗ: $x \ge 2/3$.

Левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной:

$2\sqrt{x+2} - 2 \ge 0 \Rightarrow 2\sqrt{x+2} \ge 2 \Rightarrow \sqrt{x+2} \ge 1 \Rightarrow x+2 \ge 1 \Rightarrow x \ge -1$.

Это условие не сужает нашу ОДЗ $x \ge 2/3$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x-2})^2 = (2\sqrt{x+2} - 2)^2$

$3x-2 = 4(x+2) - 8\sqrt{x+2} + 4$

$3x-2 = 4x+8 - 8\sqrt{x+2} + 4$

$3x-2 = 4x+12 - 8\sqrt{x+2}$

Изолируем корень:

$8\sqrt{x+2} = x+14$

Снова возведем в квадрат:

$(8\sqrt{x+2})^2 = (x+14)^2$

$64(x+2) = x^2+28x+196$

$64x+128 = x^2+28x+196$

$x^2 - 36x + 68 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-36)^2 - 4(1)(68) = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{36 \pm 32}{2}$

$x_1 = \frac{36+32}{2} = \frac{68}{2} = 34$

$x_2 = \frac{36-32}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($34 \ge 2/3$ и $2 \ge 2/3$).

Проверим оба корня подстановкой в исходное уравнение.

Для $x=34$: $\sqrt{3(34)-2} = \sqrt{100}=10$. $2\sqrt{34+2}-2 = 2\sqrt{36}-2 = 2(6)-2 = 10$. Верно.

Для $x=2$: $\sqrt{3(2)-2} = \sqrt{4}=2$. $2\sqrt{2+2}-2 = 2\sqrt{4}-2 = 2(2)-2 = 2$. Верно.

Ответ: $2; 34$.