Номер 0.37, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.37. Сократите дроби:

1) $\frac{7x^2+x-8}{7x-7}$;

2) $\frac{5a+10}{2a^2+13a+18}$;

3) $\frac{b^2-8b+15}{b^2-25}$;

4) $\frac{y^2-5y-36}{81-y^2}$;

5) $\frac{c^2-10c-11}{22+9c-c^2}$;

6) $\frac{5a^2+8a+3}{14+3a-11a^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{7x^2 + x - 8}{7x - 7}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $7x^2 + x - 8$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + x - 8 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 15}{14} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7}$.
Следовательно, $7x^2 + x - 8 = 7(x-x_1)(x-x_2) = 7(x-1)(x-(-\frac{8}{7})) = 7(x-1)(x+\frac{8}{7}) = (x-1)(7x+8)$.
Знаменатель раскладывается на множители вынесением общего множителя: $7x - 7 = 7(x - 1)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(x-1)(7x+8)}{7(x-1)}$.
Сократим общий множитель $(x-1)$: $\frac{7x+8}{7}$.
Ответ: $\frac{7x+8}{7}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5a + 10}{2a^2 + 13a + 18}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель за скобки: $5a + 10 = 5(a+2)$.
Для разложения знаменателя $2a^2 + 13a + 18$ найдем корни уравнения $2a^2 + 13a + 18 = 0$.
Дискриминант: $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 169 - 144 = 25$.
Корни: $a_1 = \frac{-13 + 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$; $a_2 = \frac{-13 - 5}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Следовательно, $2a^2 + 13a + 18 = 2(a-(-2))(a-(-\frac{9}{2})) = 2(a+2)(a+\frac{9}{2}) = (a+2)(2a+9)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{5(a+2)}{(a+2)(2a+9)}$.
Сократим общий множитель $(a+2)$: $\frac{5}{2a+9}$.
Ответ: $\frac{5}{2a+9}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{b^2 - 8b + 15}{b^2 - 25}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $b^2 - 8b + 15$ найдем корни уравнения $b^2 - 8b + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $b_1=3$ и $b_2=5$.
Следовательно, $b^2 - 8b + 15 = (b-3)(b-5)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $b^2 - 25 = b^2 - 5^2 = (b-5)(b+5)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(b-3)(b-5)}{(b-5)(b+5)}$.
Сократим общий множитель $(b-5)$: $\frac{b-3}{b+5}$.
Ответ: $\frac{b-3}{b+5}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{y^2 - 5y - 36}{81 - y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $y^2 - 5y - 36$ найдем корни уравнения $y^2 - 5y - 36 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.
Корни: $y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9$; $y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$.
Следовательно, $y^2 - 5y - 36 = (y-9)(y+4)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $81 - y^2 = 9^2 - y^2 = (9-y)(9+y)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(y-9)(y+4)}{(9-y)(9+y)}$.
Так как $(y-9) = -(9-y)$, то дробь можно переписать как $\frac{-(9-y)(y+4)}{(9-y)(9+y)}$.
Сократим общий множитель $(9-y)$: $-\frac{y+4}{9+y}$.
Ответ: $-\frac{y+4}{y+9}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{c^2 - 10c - 11}{22 + 9c - c^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $c^2 - 10c - 11$ найдем корни уравнения $c^2 - 10c - 11 = 0$. По теореме Виета, корни $c_1=11$ и $c_2=-1$.
Следовательно, $c^2 - 10c - 11 = (c-11)(c+1)$.
Для разложения знаменателя $22 + 9c - c^2$ вынесем -1 за скобки: $-(c^2 - 9c - 22)$. Найдем корни уравнения $c^2 - 9c - 22 = 0$.
Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.
Корни: $c_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11$; $c_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2$.
Следовательно, $22 + 9c - c^2 = -(c-11)(c-(-2)) = -(c-11)(c+2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(c-11)(c+1)}{-(c-11)(c+2)}$.
Сократим общий множитель $(c-11)$: $\frac{c+1}{-(c+2)} = -\frac{c+1}{c+2}$.
Ответ: $-\frac{c+1}{c+2}$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^2 + 8a + 3}{14 + 3a - 11a^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $5a^2 + 8a + 3$ найдем корни уравнения $5a^2 + 8a + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Корни: $a_1 = \frac{-8 + 2}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$; $a_2 = \frac{-8 - 2}{10} = -1$.
Следовательно, $5a^2 + 8a + 3 = 5(a-(-\frac{3}{5}))(a-(-1)) = 5(a+\frac{3}{5})(a+1) = (5a+3)(a+1)$.
Для разложения знаменателя $14 + 3a - 11a^2$ вынесем -11 за скобки: $-11(a^2 - \frac{3}{11}a - \frac{14}{11})$. Найдем корни уравнения $11a^2 - 3a - 14 = 0$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625$.
Корни: $a_1 = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$; $a_2 = \frac{3 - 25}{22} = -1$.
Следовательно, $14 + 3a - 11a^2 = -11(a-\frac{14}{11})(a-(-1)) = -(11a-14)(a+1) = (14-11a)(a+1)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(5a+3)(a+1)}{(14-11a)(a+1)}$.
Сократим общий множитель $(a+1)$: $\frac{5a+3}{14-11a}$.
Ответ: $\frac{5a+3}{14-11a}$