Номер 0.38, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.38. Докажите, что квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ принимает только положительные значения при $a>0$ и $D=b^2-4ac<0$.

Для доказательства того, что квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только положительные значения при заданных условиях, преобразуем ее выражение, выделив полный квадрат.

Вынесем коэффициент $a$ за скобки (по определению квадратичной функции $a \ne 0$):$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив и вычтя слагаемое $(\frac{b}{2a})^2$:$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

Свернем полный квадрат и раскроем внешние скобки:$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

Упростим выражение и приведем последние два слагаемых к общему знаменателю:$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Заметим, что $b^2 - 4ac$ — это дискриминант $D$. Следовательно, $4ac - b^2 = -(b^2 - 4ac) = -D$. Подставим это в формулу:$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{D}{4a}$

Теперь проанализируем полученное выражение, используя условия из задачи: $a > 0$ и $D < 0$.

1. Выражение $(x + \frac{b}{2a})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно для любого $x$: $(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$.

2. По условию коэффициент $a > 0$. Произведение положительного числа на неотрицательное также неотрицательно, поэтому первое слагаемое $a(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$.

3. Рассмотрим второе слагаемое $-\frac{D}{4a}$. По условию $D < 0$, значит, числитель $-D$ является строго положительным числом ($-D > 0$). Также по условию $a > 0$, значит, знаменатель $4a$ тоже строго положителен ($4a > 0$). Отношение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $-\frac{D}{4a} > 0$.

В результате мы представили функцию $y$ в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое, $a(x + \frac{b}{2a})^2$, неотрицательно, а второе, $-\frac{D}{4a}$, строго положительно. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда будет строго положительным числом.

Таким образом, для любого действительного $x$ значение функции $y$ будет больше нуля, что и требовалось доказать.

Ответ: Мы преобразовали функцию к виду $y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{D}{4a}$. При условиях $a > 0$ и $D < 0$ имеем, что первое слагаемое $a(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$, а второе слагаемое $-\frac{D}{4a} > 0$. Сумма неотрицательного и положительного числа всегда положительна, следовательно, $y > 0$ для всех $x$, что и доказывает утверждение.