Номер 0.44, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.44. Найдите промежутки знакопостоянства функций:

1) $y=x-2;$

2) $y=2-3x;$

3) $y=x^2-3x+2;$

4) $y=-3x^2+5x-2;$

5) $y=(3x-10)(x+6);$

6) $y=\frac{6-x}{x};$

7) $y=\frac{4+2x}{5+x};$

8) $y=\frac{6}{(x-1)(x+8)}.$

1) Дана функция $y=x-2$.

Это линейная функция, область определения которой — все действительные числа, $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y=0$: $x-2=0$, откуда $x=2$.

Точка $x=2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке.
При $x \in (-\infty; 2)$, например при $x=0$, имеем $y=0-2=-2 < 0$.
При $x \in (2; +\infty)$, например при $x=3$, имеем $y=3-2=1 > 0$.

Таким образом, функция отрицательна при $x \in (-\infty; 2)$ и положительна при $x \in (2; +\infty)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

2) Дана функция $y=2-3x$.

Это линейная функция, $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $2-3x=0$, откуда $3x=2$, $x=\frac{2}{3}$.

Точка $x=\frac{2}{3}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

Определим знак функции:
При $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$, например при $x=0$, имеем $y=2-3(0)=2 > 0$.
При $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$, например при $x=1$, имеем $y=2-3(1)=-1 < 0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$; $y<0$ при $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) Дана функция $y=x^2-3x+2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1>0$). $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2-3x+2=0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1=1$ и $x_2=2$.

Нули функции $x=1$ и $x=2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ и $y<0$ при $x \in (1; 2)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (1; 2)$.

4) Дана функция $y=-3x^2+5x-2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-3<0$). $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2+5x-2=0$. Умножим на -1: $3x^2-5x+2=0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{5+1}{6} = 1$.

Нули функции $x=\frac{2}{3}$ и $x=1$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция отрицательна вне корней и положительна между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$ и $y<0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

5) Дана функция $y=(3x-10)(x+6)$.

Это квадратичная функция, $y=3x^2+8x-60$. График — парабола с ветвями, направленными вверх. $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции из уравнения $(3x-10)(x+6)=0$.
$3x-10=0 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.
$x+6=0 \Rightarrow x = -6$.

Нули функции $x=-6$ и $x=\frac{10}{3}$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{10}{3})$ и $(\frac{10}{3}; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$ и $y<0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

6) Дана функция $y = \frac{6-x}{x}$.

Это дробно-рациональная функция. Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем нули функции, приравняв числитель к нулю: $6-x=0$, откуда $x=6$.

Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=6$ (нуль функции) делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке методом интервалов:
При $x \in (-\infty; 0)$, например при $x=-1$, $y = \frac{6-(-1)}{-1} = \frac{7}{-1} = -7 < 0$.
При $x \in (0; 6)$, например при $x=1$, $y = \frac{6-1}{1} = 5 > 0$.
При $x \in (6; +\infty)$, например при $x=7$, $y = \frac{6-7}{7} = -\frac{1}{7} < 0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (0; 6)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

7) Дана функция $y = \frac{4+2x}{5+x}$.

Это дробно-рациональная функция. Область определения: $5+x \neq 0$, т.е. $x \neq -5$. $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Найдем нули функции: $4+2x=0$, откуда $2x=-4$, $x=-2$.

Точки $x=-5$ (точка разрыва) и $x=-2$ (нуль функции) делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке методом интервалов:
При $x \in (-\infty; -5)$, например при $x=-6$, $y = \frac{4+2(-6)}{5-6} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0$.
При $x \in (-5; -2)$, например при $x=-3$, $y = \frac{4+2(-3)}{5-3} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$.
При $x \in (-2; +\infty)$, например при $x=0$, $y = \frac{4+0}{5+0} = \frac{4}{5} > 0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-5; -2)$.

8) Дана функция $y = \frac{6}{(x-1)(x+8)}$.

Это дробно-рациональная функция. Область определения: $(x-1)(x+8) \neq 0$, т.е. $x \neq 1$ и $x \neq -8$. $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$.

Числитель дроби равен 6, он всегда положителен. Следовательно, знак функции $y$ совпадает со знаком знаменателя $g(x)=(x-1)(x+8)$.

Знаменатель является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх, с нулями в точках $x=1$ и $x=-8$.

Точки разрыва $x=-8$ и $x=1$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -8)$, $(-8; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Знак знаменателя (и, соответственно, функции $y$):
При $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$, знаменатель положителен, значит $y>0$.
При $x \in (-8; 1)$, знаменатель отрицателен, значит $y<0$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-8; 1)$.