Номер 0.47, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.47. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0 \\ -x^2 + 2x + 3 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, имеем:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} $

Отсюда находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-3, 2)$.

Второе неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-1, 3)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $x \in (-3, 2) \cap (-1, 3)$.

Изобразим интервалы решений на числовой оси. Решение первого неравенства $x \in (-3, 2)$ показано синим цветом, а решение второго $x \in (-1, 3)$ — красным. Общая область (пересечение) является решением системы.

Пересечением интервалов является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0 \\ x^2 - 2x - 8 < 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 4x - 5 > 0$ выполняется за пределами интервала между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

Второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-2, 4)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in ((-\infty, -5) \cup (1, \infty)) \cap (-2, 4)$.

Изобразим множества решений на числовой оси. Решение первого неравенства $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$ показано синим цветом, а решение второго $x \in (-2, 4)$ — красным.

Пересечением множеств является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$.