Номер 0.54, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.54. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a+4x-x^2-1)(a+1-|x-2|)=0$ имеет три корня?

Исходное уравнение $(a+4x-x^2-1)(a+1-|x-2|)=0$ является произведением двух сомножителей, равным нулю. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$a+4x-x^2-1=0$ или $a+1-|x-2|=0$.

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения параметра $a$, при которых эта совокупность уравнений имеет ровно три различных корня.

Рассмотрим данную задачу графически в координатной плоскости $(x, a)$. Для этого выразим $a$ через $x$ в каждом уравнении:

1. $a = x^2 - 4x + 1$

2. $a = |x-2| - 1$

Количество корней исходного уравнения для заданного значения $a$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 1$ и $y = |x-2| - 1$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Построим и проанализируем графики этих функций.

График функции $y = x^2 - 4x + 1$:

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:

$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_в = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$.

График функции $y = |x-2| - 1$:

Это график модуля, смещенный на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина этого графика находится в точке $(2, -1)$. При $x \ge 2$ график представляет собой прямую $y = (x-2)-1 = x-3$. При $x < 2$ график представляет собой прямую $y = -(x-2)-1 = -x+1$.

Для определения числа общих корней найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 - 4x + 1 = |x-2| - 1$.

Случай 1: $x \ge 2$

$x^2 - 4x + 1 = (x-2) - 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Условию $x \ge 2$ удовлетворяет только $x=4$. При $x=4$ значение $a$ равно $4^2 - 4 \cdot 4 + 1 = 1$.

Случай 2: $x < 2$

$x^2 - 4x + 1 = -(x-2) - 1$

$x^2 - 3x = 0$

Корни этого уравнения $x_3 = 0$ и $x_4 = 3$. Условию $x < 2$ удовлетворяет только $x=0$. При $x=0$ значение $a$ равно $0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках: $(0, 1)$ и $(4, 1)$. Это означает, что при $a=1$ оба уравнения имеют общие корни $x=0$ и $x=4$.

Теперь проанализируем количество корней в зависимости от значения параметра $a$, мысленно проводя горизонтальную прямую $y=a$ и подсчитывая количество точек пересечения с обоими графиками.

• При $a < -3$: прямая $y=a$ не пересекает ни один из графиков. 0 корней.
• При $a = -3$: прямая касается вершины параболы в точке $(2, -3)$ и не пересекает график модуля. 1 корень.
• При $-3 < a < -1$: прямая пересекает параболу в двух точках и не пересекает график модуля. 2 корня.
• При $a = -1$: прямая касается вершины графика модуля в точке $(2, -1)$ и пересекает параболу в двух других точках. Найдем эти точки: $x^2 - 4x + 1 = -1 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$. Итого получаем три различных корня: $2-\sqrt{2}$, $2$, $2+\sqrt{2}$. 3 корня.
• При $-1 < a < 1$: прямая пересекает параболу в двух точках и график модуля в двух точках. Так как $a \neq 1$, эти точки различны. 4 корня.
• При $a = 1$: прямая проходит через точки пересечения графиков. Уравнение $x^2-4x+1=1$ дает корни $x=0, x=4$. Уравнение $|x-2|-1=1$ дает корни $x=0, x=4$. Множество корней обоих уравнений совпадает. 2 корня.
• При $a > 1$: прямая пересекает параболу в двух точках и график модуля в двух точках. Все точки пересечения различны. 4 корня.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня только при одном значении параметра $a$.

Ответ: $a=-1$.