Работа в группе, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Заполните таблицу

Задания к таблице

Определите степень полученных уравнений.

Среди полученных уравнений укажите нелинейные. Почему их называют нелинейными?

Все ли уравнения определяют функциональную зависимость?

Какие уравнения следует назвать нелинейными в зависимости от показателя степени?

Обоснуйте ответы и обсудите их вместе с классом.

Сделайте выводы.

Заполнение таблицы:

Задания к таблице

Определите степень полученных уравнений.
Степенью уравнения с двумя переменными называется наибольшая из степеней его членов. Степень члена — это сумма показателей степеней переменных, входящих в этот член.
1. $kx - y + n = 0$: члены $kx$ и $-y$ имеют степень 1. Наибольшая степень равна 1.
2. $ax^2 + bx - y + c = 0$: член $ax^2$ имеет степень 2. Наибольшая степень равна 2.
3. $ax^3 - y = 0$: член $ax^3$ имеет степень 3. Наибольшая степень равна 3.
4. $xy - k = 0$: член $xy$ (т.е. $x^1y^1$) имеет степень $1+1=2$. Наибольшая степень равна 2.
5. $(x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2 = 0$: после раскрытия скобок ($x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - R^2 = 0$) получим члены $x^2$ и $y^2$, которые имеют степень 2. Наибольшая степень равна 2.
Ответ: степени уравнений равны 1, 2, 3, 2, 2 соответственно.

Среди полученных уравнений укажите нелинейные. Почему их называют нелинейными?
Линейным является только первое уравнение $kx - y + n = 0$, так как его степень равна 1. Все остальные уравнения являются нелинейными.
Нелинейные уравнения:
• $ax^2 + bx - y + c = 0$
• $ax^3 - y = 0$
• $xy - k = 0$
• $(x-a)^2 + (y-b)^2 - R^2 = 0$
Их называют нелинейными, потому что их степень больше единицы. Геометрически это означает, что их графики не являются прямыми линиями (от "не-линия"). Например, график квадратичной функции — парабола, обратной пропорциональности — гипербола, а уравнение окружности задает окружность. Все это кривые линии.
Ответ: все уравнения, кроме первого, являются нелинейными, так как их степень больше 1, а их графики не являются прямыми линиями.

Все ли уравнения определяют функциональную зависимость?
Функциональная зависимость вида $y=f(x)$ предполагает, что каждому значению переменной $x$ из области определения соответствует единственное значение переменной $y$.
• Уравнения 1, 2, 3 и 4 можно однозначно разрешить относительно $y$: $y = kx+n$, $y=ax^2+bx+c$, $y=ax^3$, $y=k/x$. Они определяют функциональную зависимость.
• Уравнение окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ не определяет функциональную зависимость $y=f(x)$, так как при решении относительно $y$ мы получаем $y = b \pm \sqrt{R^2 - (x-a)^2}$. Одному значению $x$ (например, $x=a$) соответствуют два значения $y$ ($y = b+R$ и $y=b-R$), что противоречит определению функции.
Ответ: нет, не все. Уравнение окружности не определяет функциональную зависимость вида $y=f(x)$.

Какие уравнения следует назвать нелинейными в зависимости от показателя степени? Обоснуйте ответы и обсудите их вместе с классом. Сделайте выводы.
Уравнение следует называть нелинейным, если его степень (наибольший показатель степени среди всех его членов) больше единицы.
Обоснование:
Алгебраически, линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид $Ax+By+C=0$, где переменные $x$ и $y$ входят в уравнение только в первой степени. Если в уравнении присутствует хотя бы один член, где переменная возведена в степень 2 или выше (например, $x^2, y^3$) или есть произведение переменных (например, $xy$), то степень уравнения становится больше 1, и оно перестает быть линейным.
Геометрически, графиком линейного уравнения является прямая линия, в то время как графики нелинейных уравнений — это кривые (параболы, гиперболы, окружности и т.д.).
Выводы:
1. Классификация уравнений на линейные и нелинейные основана на их степени.
2. Уравнение является линейным, если его степень равна 1.
3. Уравнение является нелинейным, если его степень больше 1.
4. Графиком линейного уравнения является прямая, а нелинейного — кривая линия.
5. Не каждое уравнение с двумя переменными, даже если оно описывает известную геометрическую фигуру, задает функциональную зависимость $y$ от $x$.
Ответ: нелинейными следует называть уравнения, степень которых больше 1.