Номер 0.58, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.58. Упростите выражения:

1) $\sqrt{7+\sqrt{24}}$;

2) $\sqrt{7-\sqrt{24}}$;

3) $\sqrt{5+\sqrt{24}}$;

4) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$;

5) $\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt{5}}}$;

6) $\sqrt{2\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{13+\sqrt{48}}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$. Для этого сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Теперь выражение имеет вид $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$. Нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, для которых выполняются условия: $x+y = 7$ и $xy = 6$. Методом подбора легко находим, что эти числа — $6$ и $1$. Тогда $7+2\sqrt{6} = (6+1) + 2\sqrt{6 \cdot 1} = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{1})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{1} = (\sqrt{6}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{6}+1)^2$. Следовательно, $\sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = |\sqrt{6}+1| = \sqrt{6}+1$.
Ответ: $\sqrt{6}+1$.

2) Упростим выражение $\sqrt{7 - \sqrt{24}}$. Это выражение похоже на предыдущее. Преобразуем $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$, получим $\sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$. Будем использовать формулу полного квадрата разности $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy}$. Нам нужны числа $x$ и $y$, такие что $x+y=7$ и $xy=6$. Как и в предыдущем задании, это $x=6$ и $y=1$. Тогда $7-2\sqrt{6} = (6+1) - 2\sqrt{6 \cdot 1} = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{1} = (\sqrt{6}-\sqrt{1})^2 = (\sqrt{6}-1)^2$. Следовательно, $\sqrt{7 - \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = |\sqrt{6}-1|$. Так как $\sqrt{6} > \sqrt{1}$, то разность $\sqrt{6}-1$ положительна, и модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{6}-1$.

3) Упростим выражение $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$. Заменяем $\sqrt{24}$ на $2\sqrt{6}$, получаем $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Ищем числа $x$ и $y$ такие, что $x+y=5$ и $xy=6$. Методом подбора находим, что $x=3$ и $y=2$. Тогда $5+2\sqrt{6} = (3+2) + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

4) Упростим выражение $\sqrt{7 + \sqrt{48}}$. Сначала упростим внутренний корень: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Выражение принимает вид $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$. Чтобы использовать формулу полного квадрата, нам нужен член вида $2\sqrt{xy}$. Представим $4\sqrt{3}$ как $2 \cdot 2\sqrt{3}$. Внесём множитель $2$ под корень: $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$. Получаем $\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$. Ищем числа $x$ и $y$ такие, что $x+y=7$ и $xy=12$. Подбором находим, что $x=4$ и $y=3$. Тогда $7+2\sqrt{12} = (4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{4}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$. Следовательно, $\sqrt{7 + \sqrt{48}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$.

5) Упростим выражение $\sqrt{17 - 4\sqrt{9+4\sqrt{5}}}$. Начнем с упрощения самого внутреннего радикала: $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$. Представим $4\sqrt{5}$ в виде $2 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{20}$. Получаем $\sqrt{9+2\sqrt{20}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=9$ и $xy=20$. Это числа $5$ и $4$. Значит, $9+2\sqrt{20} = 5+4+2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5}+\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}+2)^2$. Тогда $\sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = \sqrt{5}+2$. Подставим это обратно в исходное выражение: $\sqrt{17 - 4(\sqrt{5}+2)} = \sqrt{17 - 4\sqrt{5} - 8} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$. Теперь упростим $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$. Снова представим $4\sqrt{5}$ как $2\sqrt{20}$. Получаем $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=9$ и $xy=20$. Это снова $5$ и $4$. Значит, $9 - 2\sqrt{20} = 5+4-2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5}-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$. Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$, то $\sqrt{5}-2 > 0$. Итоговый результат: $\sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

6) Упростим выражение $2\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{13+\sqrt{48}}$. Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Упростим радикал $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=6$ и $xy=5$. Это числа $5$ и $1$. $6+2\sqrt{5} = 5+1+2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{5}+1)^2$. Значит, $\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{5}+1$. Тогда первое слагаемое равно $2(\sqrt{5}+1) = 2\sqrt{5}+2$.
Второе слагаемое (вычитаемое): $\sqrt{13+\sqrt{48}}$. Упростим $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Получаем $\sqrt{13+4\sqrt{3}}$. Представим $4\sqrt{3}$ как $2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$. Имеем $\sqrt{13+2\sqrt{12}}$. Ищем $x, y$ такие, что $x+y=13$ и $xy=12$. Это числа $12$ и $1$. $13+2\sqrt{12} = 12+1+2\sqrt{12 \cdot 1} = (\sqrt{12}+\sqrt{1})^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$. Значит, $\sqrt{13+\sqrt{48}} = \sqrt{(2\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{3}+1$.
Выполняем вычитание: $(2\sqrt{5}+2) - (2\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{5}+2 - 2\sqrt{3} - 1 = 1+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}$.
Ответ: $1+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}$.