Номер 0.56, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.56. Докажите, что четырехзначное число является простым числом, если оно не имеет простых делителей, меньших, чем 100.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть $N$ — произвольное четырехзначное число. Это означает, что $1000 \le N \le 9999$. По условию, у числа $N$ нет простых делителей, меньших чем 100.

Предположим, что утверждение неверно, то есть $N$ является составным числом.

Известно, что любое составное число $N$ имеет по крайней мере один простой делитель $p$, который не превышает квадратного корня из этого числа, то есть $p \le \sqrt{N}$.

Давайте докажем этот факт. Если $N$ — составное, то его можно представить в виде произведения $N = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — целые числа, большие 1. Без ограничения общности можно предположить, что $a \le b$. Тогда $a \cdot a \le a \cdot b$, что равносильно $a^2 \le N$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $a \le \sqrt{N}$. Поскольку $a > 1$, у него есть как минимум один простой делитель (согласно основной теореме арифметики), назовем его $p$. Этот простой делитель $p$ также будет делителем $N$. И так как $p \le a$, то справедливо и $p \le \sqrt{N}$.

Теперь вернемся к нашей задаче. Так как $N$ — четырехзначное число, максимальное его значение — 9999. Найдем верхнюю границу для $\sqrt{N}$:

$\sqrt{N} \le \sqrt{9999}$

Мы знаем, что $100^2 = 10000$, поэтому $\sqrt{9999} < \sqrt{10000} = 100$.

Таким образом, для любого четырехзначного числа $N$ верно, что $\sqrt{N} < 100$.

Из нашего предположения, что $N$ — составное, следует, что у него должен быть простой делитель $p \le \sqrt{N}$. Совместив это с предыдущим выводом, мы получаем, что у $N$ должен быть простой делитель $p < 100$.

Однако это напрямую противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что у числа $N$ нет простых делителей, меньших чем 100.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что $N$ является составным числом, было неверным. Следовательно, число $N$ должно быть простым.

Ответ: Утверждение доказано. Если четырехзначное число $N$ является составным, то оно обязано иметь хотя бы один простой делитель $p$, удовлетворяющий условию $p \le \sqrt{N}$. Поскольку для любого четырехзначного числа $N$ выполняется неравенство $N \le 9999$, то $\sqrt{N} < \sqrt{10000} = 100$. Следовательно, любой составной четырехзначный номер должен иметь простой делитель, меньший 100. Это противоречит условию задачи. Таким образом, число не может быть составным, а значит, оно является простым.