Номер 0.57, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.57. Покажите, что число:

а) $\underbrace{77\dots7}_{2004} \cdot 3$;

б) $100^{100}-1$ является составным числом.

а) Чтобы доказать, что число $N_a = \underbrace{77...7}_{2004} \cdot 3$ является составным, достаточно показать, что оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя.
Составное число — это натуральное число, большее 1, которое можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, больших 1.
Данное число уже представлено в виде произведения двух множителей: $A = \underbrace{77...7}_{2004}$ и $B = 3$.
Первый множитель, $A$, — это натуральное число, состоящее из 2004 цифр «7». Очевидно, что $A > 1$.
Второй множитель, $B = 3$, также является натуральным числом, большим 1.
Поскольку число $N_a$ является произведением двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1, оно по определению является составным. Его делителями являются, например, 3 и $\underbrace{77...7}_{2004}$.

Ответ: Число $\underbrace{77...7}_{2004} \cdot 3$ является составным, так как оно равно произведению двух натуральных чисел ($\underbrace{77...7}_{2004}$ и 3), каждое из которых больше единицы.

б) Чтобы доказать, что число $N_б = 100^{100} - 1$ является составным, представим его в виде произведения двух множителей, отличных от 1 и самого числа.
Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим исходное число в следующем виде:$N_б = 100^{100} - 1 = (100^{50})^2 - 1^2$.
Применив формулу разности квадратов, где $a = 100^{50}$ и $b = 1$, получим:$N_б = (100^{50} - 1)(100^{50} + 1)$.
Мы разложили число $N_б$ на два множителя: $(100^{50} - 1)$ и $(100^{50} + 1)$.
Первый множитель, $100^{50} - 1$, является натуральным числом. Так как $100^{50}$ — это число, равное единице со ста нулями ($10^{200}$), то $100^{50} - 1$ — очень большое натуральное число, очевидно большее 1.
Второй множитель, $100^{50} + 1$, также является натуральным числом и очевидно больше 1.
Поскольку число $N_б$ представлено в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1, оно является составным.

Ответ: Число $100^{100} - 1$ является составным, так как оно раскладывается на множители $(100^{50} - 1)$ и $(100^{50} + 1)$, каждый из которых является натуральным числом, большим единицы.