Номер 0.55, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.55. При каких значениях $x$ график функции $y = \frac{x-13}{x^2+x-6}$ лежит в промежутке $0 \leq y \leq 1$?

Условие, при котором график функции $y = \frac{x-13}{x^2+x-6}$ лежит в промежутке $0 \le y \le 1$, можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le \frac{x-13}{x^2+x-6} \le 1$

Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x-13}{x^2+x-6} \ge 0 \\ \frac{x-13}{x^2+x-6} \le 1 \end{cases} $$

Прежде всего, найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2+x-6 \ne 0$

Найдем корни уравнения $x^2+x-6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Таким образом, область определения: $x \ne 2$ и $x \ne -3$.

Теперь решим каждое неравенство системы.

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x-13}{x^2+x-6} \ge 0$

Разложим знаменатель на множители:

$\frac{x-13}{(x-2)(x+3)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=13$, $x=2$, $x=-3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов.

Выражение неотрицательно при $x \in (-3; 2) \cup [13; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x-13}{x^2+x-6} \le 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-13}{x^2+x-6} - 1 \le 0$

$\frac{x-13 - (x^2+x-6)}{x^2+x-6} \le 0$

$\frac{x-13-x^2-x+6}{x^2+x-6} \le 0$

$\frac{-x^2-7}{x^2+x-6} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2+7}{x^2+x-6} \ge 0$

Числитель $x^2+7$ всегда положителен при любом действительном значении $x$ (так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+7 \ge 7$). Поэтому знак дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство равносильно следующему:

$x^2+x-6 > 0$

$(x-2)(x+3) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (-3; 2) \cup [13; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств. Интервал $(-3; 2)$ из первого решения не пересекается со вторым решением. Интервал $[13; +\infty)$ из первого решения полностью входит в интервал $(2; +\infty)$ из второго решения. Следовательно, их пересечение есть $[13; +\infty)$.

Таким образом, общее решение системы неравенств — это $x \in [13; +\infty)$.

Ответ: $x \in [13; +\infty)$.