Номер 0.49, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 0.49–0.51 решите уравнения.

0.49. 1) $ \frac{2x-7}{x^2-9x+14} - \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-1} $

2) $ \frac{2x+7}{x^2+5x-6} + \frac{3}{x^2+9x+18} = \frac{1}{x+3} $

3) $ \frac{9}{4x^2+1} - \frac{8x+29}{16x^4-1} = \frac{18x+5}{8x^3+4x^2+2x+1} $

4) $ \frac{1}{x^3+3x^2+x+3} + \frac{1}{x^4-1} = \frac{\frac{1}{6}}{x^3-3x^2-x+3} $

1)

Исходное уравнение: $\frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1}$.
Сначала разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни квадратных трехчленов.
Для $x^2 - 9x + 14=0$, по теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=7$. Значит, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.
Для $x^2 - 3x + 2=0$, по теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=2$. Значит, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
Подставим разложенные знаменатели в уравнение:
$\frac{2x - 7}{(x - 2)(x - 7)} - \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x - 1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq 1, x \neq 2, x \neq 7$.
Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 1)(x - 2)(x - 7)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:
$(2x - 7)(x - 1) - 1(x - 7) = 1(x - 2)(x - 7)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(2x^2 - 2x - 7x + 7) - (x - 7) = (x^2 - 7x - 2x + 14)$
$2x^2 - 9x + 7 - x + 7 = x^2 - 9x + 14$
$2x^2 - 10x + 14 = x^2 - 9x + 14$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x^2 - 10x + 9x + 14 - 14 = 0$
$x^2 - x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$.
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $x = 0$ удовлетворяет всем условиям ($0 \neq 1, 0 \neq 2, 0 \neq 7$). Корень $x = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$, следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x=0$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$.
$x^2 + 9x + 18 = (x + 6)(x + 3)$.
Уравнение примет вид:
$\frac{2x + 7}{(x + 6)(x - 1)} + \frac{3}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$.
ОДЗ: $x \neq -6, x \neq 1, x \neq -3$.
Общий знаменатель: $(x + 6)(x - 1)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(2x + 7)(x + 3) + 3(x - 1) = 1(x + 6)(x - 1)$.
Раскроем скобки:
$(2x^2 + 6x + 7x + 21) + (3x - 3) = (x^2 - x + 6x - 6)$
$2x^2 + 13x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 5x - 6$
$2x^2 + 16x + 18 = x^2 + 5x - 6$
Перенесем все в левую часть:
$2x^2 - x^2 + 16x - 5x + 18 + 6 = 0$
$x^2 + 11x + 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а произведение 24. Корни: $x_1 = -3, x_2 = -8$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, значит, это посторонний корень. Корень $x = -8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-8$.

3)

Исходное уравнение: $\frac{9}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1}$.
Разложим знаменатели на множители:
$16x^4 - 1 = (4x^2)^2 - 1^2 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$.
$8x^3 + 4x^2 + 2x + 1 = 4x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) = (4x^2 + 1)(2x + 1)$.
Перепишем уравнение:
$\frac{9}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)} = \frac{18x + 5}{(4x^2 + 1)(2x + 1)}$.
ОДЗ: $x \neq 1/2, x \neq -1/2$. (Выражение $4x^2+1$ всегда положительно).
Общий знаменатель: $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$. Умножим обе части на него:
$9(2x - 1)(2x + 1) - (8x + 29) = (18x + 5)(2x - 1)$.
Раскроем скобки:
$9(4x^2 - 1) - 8x - 29 = 36x^2 - 18x + 10x - 5$
$36x^2 - 9 - 8x - 29 = 36x^2 - 8x - 5$
$36x^2 - 8x - 38 = 36x^2 - 8x - 5$
Сократим одинаковые члены $36x^2$ и $-8x$ в обеих частях уравнения:
$-38 = -5$.
Получено неверное числовое равенство, не зависящее от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4)

Исходное уравнение: $\frac{1}{x^3 + 3x^2 + x + 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{6}{x^3 - 3x^2 - x + 3}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^3 + 3x^2 + x + 3 = x^2(x + 3) + (x + 3) = (x^2 + 1)(x + 3)$.
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.
$x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - (x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$.
Подставим в уравнение:
$\frac{1}{(x^2 + 1)(x + 3)} + \frac{1}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{6}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)}$.
ОДЗ: $x \neq -3, x \neq \pm 1, x \neq 3$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(x^2 + 1)(x + 3)(x^2-1)$:
$\frac{x^2 - 1 + x + 3}{(x^2 + 1)(x + 3)(x^2 - 1)} = \frac{6}{(x^2 - 1)(x - 3)}$.
$\frac{x^2 + x + 2}{(x^2 + 1)(x + 3)(x^2 - 1)} = \frac{6}{(x^2 - 1)(x - 3)}$.
Сократим дробь на $(x^2 - 1)$, так как в ОДЗ $x \neq \pm 1$:
$\frac{x^2 + x + 2}{(x^2 + 1)(x + 3)} = \frac{6}{x - 3}$.
По правилу пропорции:
$(x^2 + x + 2)(x - 3) = 6(x^2 + 1)(x + 3)$.
Раскроем скобки:
$x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + 2x - 6 = 6(x^3 + 3x^2 + x + 3)$
$x^3 - 2x^2 - x - 6 = 6x^3 + 18x^2 + 6x + 18$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$5x^3 + 20x^2 + 7x + 24 = 0$.
Получено кубическое уравнение. Методами, изучаемыми в школьном курсе, найти его корни затруднительно. Проверка с помощью теоремы о рациональных корнях показывает, что целых и простых дробных корней у уравнения нет. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Уравнение сводится к кубическому уравнению $5x^3 + 20x^2 + 7x + 24 = 0$, которое не имеет простых рациональных корней.