Номер 0.42, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.42. Покажите, что числа 1 и $\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2+bx+c=0$, если $a+b+c=0$.

Чтобы доказать, что указанные числа являются корнями уравнения, необходимо подставить их в уравнение и проверить, обращается ли оно в верное равенство, используя заданное условие.

Проверка для корня $x = 1$

Подставим значение $x = 1$ в левую часть квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c = a \cdot 1 + b + c = a+b+c$.

Согласно условию задачи, сумма коэффициентов равна нулю: $a+b+c=0$.

Следовательно, при подстановке $x=1$ мы получаем $0=0$, что является верным равенством. Это доказывает, что $x=1$ является корнем данного уравнения.

Ответ: Число 1 является корнем уравнения, так как при подстановке его в уравнение $ax^2+bx+c$ получается выражение $a+b+c$, которое по условию равно 0.

Проверка для корня $x = \frac{c}{a}$

Доказательство можно провести двумя способами.

Способ 1: Прямая подстановка

Подставим значение $x = \frac{c}{a}$ в левую часть уравнения (при этом $a \neq 0$, что является обязательным условием для квадратного уравнения):

$a \cdot (\frac{c}{a})^2 + b \cdot (\frac{c}{a}) + c = a \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a}$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$ и вынесем $c$ за скобки в числителе:

$\frac{c^2 + bc + ac}{a} = \frac{c(c+b+a)}{a}$.

Так как по условию $a+b+c=0$, то числитель дроби равен $c \cdot 0 = 0$.

В результате получаем $\frac{0}{a} = 0$. Левая часть уравнения равна правой ($0=0$), следовательно, $x=\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Мы уже доказали, что один из корней, пусть $x_1$, равен 1. Подставим это значение в формулу:

$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Отсюда следует, что второй корень $x_2$ равен $\frac{c}{a}$.

Ответ: Число $\frac{c}{a}$ является корнем уравнения, что доказывается как прямой подстановкой с использованием условия $a+b+c=0$, так и с помощью теоремы Виета, зная, что один из корней равен 1.