Номер 0.36, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.36. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 21x^2 + 39x - 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 > 0, \\ 7x > 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 3x - 4 < 0, \\ 3x - 12 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 7x + 10 < 0, \\ 4x - 3,6 > 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x + 7 > 0, \\ x^2 + 5x \ge 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x^2 + 5x + 20 \le 0, \\ x - 1,5 \ge 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 21x^2 + 39x - 6 < 0, \\ x < 0; \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $21x^2 + 39x - 6 < 0$. Разделим обе части на 3 для упрощения: $7x^2 + 13x - 2 < 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + 13x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$, $x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.

Графиком функции $y = 7x^2 + 13x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=7>0$). Следовательно, неравенство $7x^2 + 13x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2; \frac{1}{7})$.

Второе неравенство системы: $x < 0$. Его решение: $x \in (-\infty; 0)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-2; \frac{1}{7}) \cap (-\infty; 0)$.

Пересечением является интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-2; 0)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 > 0, \\ 7x > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $4x^2 + 5x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 + 5x - 6 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$, $x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Парабола $y = 4x^2 + 5x - 6$ имеет ветви вверх ($a=4>0$), поэтому неравенство $4x^2 + 5x - 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $7x > 0 \implies x > 0$.

Решение второго неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -2) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)) \cap (0; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(\frac{3}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 < 0, \\ 3x - 12 > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 4 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ имеет ветви вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 - 3x - 4 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1; 4)$.

Решим второе неравенство: $3x - 12 > 0 \implies 3x > 12 \implies x > 4$.

Решение второго неравенства: $x \in (4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-1; 4) \cap (4; +\infty)$.

Интервалы не пересекаются.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 7x + 10 < 0, \\ 4x - 3,6 > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 7x + 10 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 + 7x + 10$ имеет ветви вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 7x + 10 < 0$ выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-5; -2)$.

Решим второе неравенство: $4x - 3,6 > 0 \implies 4x > 3,6 \implies x > 0,9$.

Решение второго неравенства: $x \in (0,9; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-5; -2) \cap (0,9; +\infty)$.

Интервалы не пересекаются.

Ответ: нет решений.

5) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 7 > 0, \\ x^2 + 5x \ge 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x + 7 > 0 \implies x > -7$.

Решение первого неравенства: $x \in (-7; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 + 5x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x+5) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x+5)=0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 5x \ge 0$ выполняется на и вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-7; +\infty) \cap ((-\infty; -5] \cup [0; +\infty))$.

Пересечение состоит из двух интервалов: $(-7; -5]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-7; -5] \cup [0; +\infty)$.

6) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x + 20 \le 0, \\ x - 1,5 \ge 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство $2x^2 + 5x + 20 \le 0$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения $2x^2 + 5x + 20 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 25 - 160 = -135$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=2>0$, квадратный трехчлен $2x^2 + 5x + 20$ всегда положителен при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $2x^2 + 5x + 20 \le 0$ не имеет решений.

Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.