Номер 0.34, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.34.

1) $|x - 3| + 2|x + 1| = 4;$

2) $|5 - 2x| + |x + 3| = 2 - 3x;$

3) $|5 - x| + |x - 1| = 10;$

4) $|4 - x| + |x - 2| = 2.$

1)

Решим уравнение $|x-3| + 2|x+1| = 4$ методом интервалов.

Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x-3=0 \implies x=3$ и $x+1=0 \implies x=-1$.

Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из них.

1. При $x < -1$: оба выражения под модулем отрицательны. $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Уравнение принимает вид:

$(3-x) + 2(-x-1) = 4$

$3-x-2x-2 = 4$

$1-3x = 4$

$-3x = 3$

$x = -1$

Полученное значение $x=-1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < -1$, поэтому оно не является решением на этом интервале.

2. При $-1 \le x < 3$: выражение $x-3$ отрицательно, а $x+1$ неотрицательно. $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|x+1| = x+1$.

Уравнение принимает вид:

$(3-x) + 2(x+1) = 4$

$3-x+2x+2 = 4$

$x+5 = 4$

$x = -1$

Полученное значение $x=-1$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1; 3)$, следовательно, является решением.

3. При $x \ge 3$: оба выражения под модулем неотрицательны. $|x-3| = x-3$ и $|x+1| = x+1$.

Уравнение принимает вид:

$(x-3) + 2(x+1) = 4$

$x-3+2x+2 = 4$

$3x-1 = 4$

$3x = 5$

$x = 5/3$

Полученное значение $x = 5/3 \approx 1.67$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 3$, поэтому оно не является решением.

Единственным решением уравнения является $x=-1$.

Ответ: $-1$.

2)

Решим уравнение $|5-2x| + |x+3| = 2-3x$.

Сумма модулей в левой части всегда неотрицательна, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):

$2-3x \ge 0 \implies -3x \ge -2 \implies x \le 2/3$.

Найдем нули подмодульных выражений: $5-2x=0 \implies x=2.5$ и $x+3=0 \implies x=-3$.

С учетом ОДЗ ($x \le 2/3$), нам нужно рассмотреть два промежутка: $(-\infty; -3)$ и $[-3; 2/3]$.

1. При $x < -3$: выражение $5-2x$ положительно, а $x+3$ отрицательно. $|5-2x| = 5-2x$ и $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

Уравнение принимает вид:

$(5-2x) + (-x-3) = 2-3x$

$2-3x = 2-3x$

Это тождество, верное для всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все $x \in (-\infty; -3)$ являются решениями.

2. При $-3 \le x \le 2/3$: оба выражения под модулем неотрицательны. $5-2x > 0$ (т.к. $x \le 2/3 < 2.5$) и $x+3 \ge 0$.

$|5-2x| = 5-2x$ и $|x+3| = x+3$.

Уравнение принимает вид:

$(5-2x) + (x+3) = 2-3x$

$8-x = 2-3x$

$2x = -6$

$x = -3$

Полученное значение $x=-3$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-3; 2/3]$, следовательно, является решением.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем, что решениями являются все числа из промежутка $(-\infty; -3)$ и точка $x=-3$. Таким образом, решение - это промежуток $(-\infty; -3]$.

Ответ: $(-\infty; -3]$.

3)

Решим уравнение $|5-x| + |x-1| = 10$.

Так как $|5-x|=|x-5|$, уравнение можно переписать как $|x-5| + |x-1| = 10$.

Нули подмодульных выражений: $x=5$ и $x=1$. Точки делят числовую ось на три промежутка.

1. При $x < 1$: $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$(5-x) + (1-x) = 10$

$6-2x = 10$

$-2x = 4 \implies x = -2$.

Корень $x=-2$ принадлежит промежутку $x < 1$, значит, это решение.

2. При $1 \le x < 5$: $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x-1| = x-1$.

$(5-x) + (x-1) = 10$

$4 = 10$.

Это неверное равенство, следовательно, на этом промежутке решений нет.

3. При $x \ge 5$: $|x-5| = x-5$ и $|x-1| = x-1$.

$(x-5) + (x-1) = 10$

$2x-6 = 10$

$2x = 16 \implies x = 8$.

Корень $x=8$ принадлежит промежутку $x \ge 5$, значит, это решение.

Ответ: $-2; 8$.

4)

Решим уравнение $|4-x| + |x-2| = 2$.

Так как $|4-x|=|x-4|$, уравнение можно переписать как $|x-4| + |x-2| = 2$.

Геометрически это означает, что сумма расстояний от точки $x$ до точек 2 и 4 на числовой прямой равна 2. Расстояние между точками 2 и 4 также равно $4-2=2$. Это условие выполняется для любой точки $x$, расположенной на отрезке между 2 и 4.

Таким образом, решением является отрезок $[2, 4]$.

Проверим это алгебраически. Нули подмодульных выражений: $x=4$ и $x=2$.

1. При $x < 2$: $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

$(4-x) + (2-x) = 2 \implies 6-2x = 2 \implies -2x = -4 \implies x=2$.

Корень не входит в интервал $x < 2$.

2. При $2 \le x < 4$: $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x-2| = x-2$.

$(4-x) + (x-2) = 2 \implies 2 = 2$.

Это тождество, значит все $x$ из промежутка $[2, 4)$ являются решениями.

3. При $x \ge 4$: $|x-4| = x-4$ и $|x-2| = x-2$.

$(x-4) + (x-2) = 2 \implies 2x-6=2 \implies 2x = 8 \implies x=4$.

Корень $x=4$ принадлежит промежутку $x \ge 4$.

Объединив решения из пунктов 2 и 3, получаем отрезок $[2, 4]$.

Ответ: $[2; 4]$.