Номер 0.27, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.27. Укажите посторонние корни уравнений:

1) $ \frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3-x}{x-2} $;

2) $ 5 + \frac{1}{x-4} = \frac{5-x}{x-4} $;

3) $ \frac{1}{x-5} + 6 = \frac{6-x}{x-5} $;

4) $ \frac{8-x}{x-7} = 8 + \frac{1}{x-7} $.

1) Дано уравнение: $ \frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3-x}{x-2} $.

Посторонний корень — это значение переменной, которое является корнем уравнения, полученного в результате преобразований, но не является корнем исходного уравнения. Обычно это происходит, когда найденный корень обращает в ноль знаменатель одной из дробей в исходном уравнении.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $ x - 2 \neq 0 $, что означает $ x \neq 2 $.

Теперь решим уравнение. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель $ (x-2) $:

$ (x-2) \cdot \frac{1}{x-2} + 3 \cdot (x-2) = (x-2) \cdot \frac{3-x}{x-2} $

$ 1 + 3(x-2) = 3 - x $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 1 + 3x - 6 = 3 - x $

$ 3x - 5 = 3 - x $

Перенесем слагаемые с $ x $ в одну сторону, а числа — в другую:

$ 3x + x = 3 + 5 $

$ 4x = 8 $

$ x = 2 $

Мы получили корень $ x=2 $. Однако, согласно ОДЗ, $ x $ не может быть равен 2. Следовательно, $ x=2 $ является посторонним корнем.

Ответ: посторонний корень 2.

2) Дано уравнение: $ 5 + \frac{1}{x-4} = \frac{5-x}{x-4} $.

Определим ОДЗ: знаменатель $ x - 4 \neq 0 $, откуда $ x \neq 4 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x-4) $:

$ 5(x-4) + 1 = 5 - x $

Решим полученное уравнение:

$ 5x - 20 + 1 = 5 - x $

$ 5x - 19 = 5 - x $

$ 5x + x = 5 + 19 $

$ 6x = 24 $

$ x = 4 $

Полученный корень $ x=4 $ не удовлетворяет условию ОДЗ ($ x \neq 4 $). Таким образом, $ x=4 $ — посторонний корень.

Ответ: посторонний корень 4.

3) Дано уравнение: $ \frac{1}{x-5} + 6 = \frac{6-x}{x-5} $.

Определим ОДЗ: знаменатель $ x - 5 \neq 0 $, откуда $ x \neq 5 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x-5) $:

$ 1 + 6(x-5) = 6 - x $

Решим полученное уравнение:

$ 1 + 6x - 30 = 6 - x $

$ 6x - 29 = 6 - x $

$ 6x + x = 6 + 29 $

$ 7x = 35 $

$ x = 5 $

Найденный корень $ x=5 $ не входит в ОДЗ ($ x \neq 5 $), следовательно, это посторонний корень.

Ответ: посторонний корень 5.

4) Дано уравнение: $ \frac{8-x}{x-7} = 8 + \frac{1}{x-7} $.

Определим ОДЗ: знаменатель $ x - 7 \neq 0 $, откуда $ x \neq 7 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x-7) $:

$ 8-x = 8(x-7) + 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 8 - x = 8x - 56 + 1 $

$ 8 - x = 8x - 55 $

$ 8 + 55 = 8x + x $

$ 63 = 9x $

$ x = 7 $

Полученный корень $ x=7 $ противоречит ОДЗ ($ x \neq 7 $), значит, $ x=7 $ является посторонним корнем.

Ответ: посторонний корень 7.