Номер 0.20, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. Найдите корни уравнений по формуле, данной в задании 0.19:

1) $3x^2-10x+3=0;$

2) $x^2+14x+33=0;$

3) $y^2-8y-84=0;$

4) $5y^2+26y+24=0;$

5) $16x^2+8x+1=0;$

6) $x^2-34x+289=0.$

1) Решим уравнение $3x^2-10x+3=0$.
В задании указано использовать формулу из задачи 0.19. Поскольку во всех уравнениях коэффициент при первой степени переменной (коэффициент $b$) является четным числом, будем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ через "четверть дискриминанта" ($D_1$ или $D/4$). Эта формула имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.
Для данного уравнения: $a=3, b=-10, c=3$.
Находим $k$: $k = \frac{-10}{2} = -5$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16$.
Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5) + \sqrt{16}}{3} = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$x_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5) - \sqrt{16}}{3} = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $3; \frac{1}{3}$.

2) Решим уравнение $x^2+14x+33=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=14, c=33$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = 7^2 - 1 \cdot 33 = 49 - 33 = 16$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-7 + \sqrt{16}}{1} = -7 + 4 = -3$.
$x_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-7 - \sqrt{16}}{1} = -7 - 4 = -11$.
Ответ: $-11; -3$.

3) Решим уравнение $y^2-8y-84=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=-84$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = (-4)^2 - 1 \cdot (-84) = 16 + 84 = 100$.
Находим корни:
$y_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{1} = 4 + 10 = 14$.
$y_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{1} = 4 - 10 = -6$.
Ответ: $14; -6$.

4) Решим уравнение $5y^2+26y+24=0$.
Коэффициенты: $a=5, b=26, c=24$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 5 \cdot 24 = 169 - 120 = 49$.
Находим корни:
$y_1 = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-13 + \sqrt{49}}{5} = \frac{-13 + 7}{5} = \frac{-6}{5} = -1,2$.
$y_2 = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-13 - \sqrt{49}}{5} = \frac{-13 - 7}{5} = \frac{-20}{5} = -4$.
Ответ: $-4; -1,2$.

5) Решим уравнение $16x^2+8x+1=0$.
Коэффициенты: $a=16, b=8, c=1$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = 4^2 - 16 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$.
Так как $D_1=0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $16x^2+8x+1 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = (4x+1)^2$.
Тогда уравнение принимает вид $(4x+1)^2=0$, откуда $4x+1=0$, $x = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

6) Решим уравнение $x^2-34x+289=0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-34, c=289$.
Находим $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-34}{2} = -17$.
Вычисляем четверть дискриминанта $D_1$:
$D_1 = k^2 - ac = (-17)^2 - 1 \cdot 289 = 289 - 289 = 0$.
Так как $D_1=0$, уравнение имеет один корень.
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-(-17)}{1} = 17$.
Также можно заметить, что $289=17^2$, а $-34x = -2 \cdot x \cdot 17$. Таким образом, левая часть является полным квадратом: $x^2-34x+289 = (x-17)^2$.
Уравнение принимает вид $(x-17)^2=0$, откуда $x-17=0$, $x = 17$.
Ответ: $17$.