Номер 0.13, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. По заданным корням составьте квадратные уравнения:

1) 2 и 5;

2) -3 и 4;

3) -2 и -7;

4) 0,5 и 4;

5) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{2} $;

6) $ -\frac{1}{3} $ и $ -\frac{1}{9} $.

1) Чтобы составить квадратное уравнение по его известным корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение ($a=1$) можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Здесь коэффициент при $x$ равен сумме корней, взятой с противоположным знаком, а свободный член равен произведению корней.
Даны корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Найдем их сумму: $S = x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$.
Найдем их произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10$.
Подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (7)x + 10 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
Ответ: $x^2 - 7x + 10 = 0$

2) Даны корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -3 + 4 = 1$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 4 = -12$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - (1)x + (-12) = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$.
Ответ: $x^2 - x - 12 = 0$

3) Даны корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -7$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -2 + (-7) = -9$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-7) = 14$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - (-9)x + 14 = 0$
$x^2 + 9x + 14 = 0$.
Ответ: $x^2 + 9x + 14 = 0$

4) Даны корни: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = 4$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = 0,5 + 4 = 4,5$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 0,5 \cdot 4 = 2$.
Подставим значения в формулу, получив приведенное уравнение:
$x^2 - 4,5x + 2 = 0$.
Для удобства, можно избавиться от дробного коэффициента, умножив обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (x^2 - 4,5x + 2) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - 9x + 4 = 0$.
Ответ: $2x^2 - 9x + 4 = 0$

5) Даны корни: $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{3}{2}$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$.
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на 6:
$6 \cdot (x^2 - \frac{13}{6}x + 1) = 6 \cdot 0$
$6x^2 - 13x + 6 = 0$.
Ответ: $6x^2 - 13x + 6 = 0$

6) Даны корни: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{9}$.
Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -\frac{1}{3} + (-\frac{1}{9}) = -\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = -\frac{4}{9}$.
Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{1}{27}$.
Подставим значения в формулу:
$x^2 - (-\frac{4}{9})x + \frac{1}{27} = 0$
$x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{27} = 0$.
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (9 и 27), то есть на 27:
$27 \cdot (x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{27}) = 27 \cdot 0$
$27x^2 + 27 \cdot \frac{4}{9}x + 27 \cdot \frac{1}{27} = 0$
$27x^2 + 12x + 1 = 0$.
Ответ: $27x^2 + 12x + 1 = 0$