Номер 0.18, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.18. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$;2) $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$;3) $\frac{1}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}$;4) $\frac{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{3b}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{x}-2} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением для $ \sqrt{x}-2 $ является $ \sqrt{x}+2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{x}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2) \cdot (\sqrt{x}+2)} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:

$ \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{x}+2}{x-4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}+2}{x-4} $

2) Для дроби $ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{x}-\sqrt{2} $ является $ \sqrt{x}+\sqrt{2} $. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение.

$ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{2})} $

Применяя формулу разности квадратов в знаменателе, получаем:

$ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{x-2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{x-2} $

3) Для дроби $ \frac{1}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} $ сопряженным выражением к знаменателю $ 2\sqrt{a}+3\sqrt{b} $ является $ 2\sqrt{a}-3\sqrt{b} $. Умножим числитель и знаменатель на него.

$ \frac{1}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{a}-3\sqrt{b})}{(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{a}-3\sqrt{b})} $

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

$ \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{(2\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2} = \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{4a-9b} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{4a-9b} $

4) В дроби $ \frac{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{3b}} $ знаменатель равен $ \sqrt{2a}-\sqrt{3b} $. Сопряженное ему выражение — $ \sqrt{2a}+\sqrt{3b} $. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$ \frac{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{3b}} = \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{3b}) \cdot (\sqrt{2a}+\sqrt{3b})}{(\sqrt{2a}-\sqrt{3b}) \cdot (\sqrt{2a}+\sqrt{3b})} = \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{3b})^2}{(\sqrt{2a})^2 - (\sqrt{3b})^2} $

В числителе применяем формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов.

Числитель: $ (\sqrt{2a}+\sqrt{3b})^2 = (\sqrt{2a})^2 + 2\sqrt{2a}\sqrt{3b} + (\sqrt{3b})^2 = 2a + 2\sqrt{6ab} + 3b $.

Знаменатель: $ (\sqrt{2a})^2 - (\sqrt{3b})^2 = 2a - 3b $.

Таким образом, итоговая дробь:

$ \frac{2a+3b+2\sqrt{6ab}}{2a-3b} $

Ответ: $ \frac{2a+3b+2\sqrt{6ab}}{2a-3b} $