Номер 0.19, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.19. Докажите, что корни уравнения $ax^2+2kx+p=0$ можно найти по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ap}}{a}$.

Для доказательства данной формулы воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения общего вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, которая выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

Рассмотрим уравнение, данное в условии задачи: $ax^2+2kx+p=0$.

Сопоставим его с уравнением общего вида и определим его коэффициенты:

$A = a$

$B = 2k$

$C = p$

Теперь подставим эти коэффициенты в стандартную формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4 \cdot a \cdot p}}{2 \cdot a}$

Далее, упростим полученное выражение. Начнем с выражения под корнем:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ap}}{2a}$

Вынесем общий множитель 4 из-под знака корня:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ap)}}{2a}$

Извлечем квадратный корень из 4, который равен 2:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ap}}{2a}$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ap})}{2a}$

Сократим дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ap}}{a}$

Таким образом, мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать. Эта формула часто используется для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, так как она позволяет упростить вычисления.

Ответ: Утверждение доказано. Путем подстановки коэффициентов уравнения $ax^2+2kx+p=0$ в стандартную формулу корней квадратного уравнения и последующих алгебраических преобразований было показано, что формула $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ap}}{a}$ является верной.