Номер 0.15, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Найдите область определения выражений:

1) $\sqrt{x-3};$

2) $\sqrt{x+3};$

3) $\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x-1};$

4) $\frac{1}{\sqrt{x-3}};$

5) $\sqrt{x^2-9};$

6) $\sqrt{|x|-3}.$

1) Область определения выражения $\sqrt{x-3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что выражение имеет смысл только при тех значениях $x$, для которых выполняется неравенство:
$x - 3 \ge 0$
Перенося -3 в правую часть неравенства, получаем:
$x \ge 3$
Таким образом, область определения — это числовой промежуток, включающий все числа, большие или равные 3.
Ответ: $[3; +\infty)$.

2) Для выражения $\sqrt{x+3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Область определения — это все числа, большие или равные -3.
Ответ: $[-3; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x-1}$ представляет собой сумму двух квадратных корней. Чтобы все выражение имело смысл, должны иметь смысл оба слагаемых. Это означает, что подкоренные выражения у обоих корней должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ 4x - 1 \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$
2) $4x - 1 \ge 0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4}$ или $x \ge 0.25$
Областью определения будет пересечение решений этих двух неравенств. На числовой прямой нужно найти значения $x$, которые одновременно больше или равны -1.5 и больше или равны 0.25. Более строгим условием является $x \ge 0.25$.
Ответ: $[0.25; +\infty)$.

4) В выражении $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$ переменная находится в знаменателе под знаком корня. Это накладывает два ограничения:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x-3} \ne 0$.
Объединение этих двух условий дает одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$x - 3 > 0$
$x > 3$
Область определения — это все числа, строго большие 3.
Ответ: $(3; +\infty)$.

5) Для нахождения области определения выражения $\sqrt{x^2 - 9}$ требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
$x^2 - 9 \ge 0$
Это квадратичное неравенство. Разложим его левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x-3)(x+3) \ge 0$
Для решения используем метод интервалов. Корни уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак произведения $(x-3)(x+3)$ на каждом из них:
- Если $x \le -3$ (например, $x=-4$), то $(-4-3)(-4+3) = (-7)(-1) = 7 \ge 0$. Интервал подходит.
- Если $-3 \le x \le 3$ (например, $x=0$), то $(0-3)(0+3) = -9 < 0$. Интервал не подходит.
- Если $x \ge 3$ (например, $x=4$), то $(4-3)(4+3) = (1)(7) = 7 \ge 0$. Интервал подходит.
Область определения является объединением двух промежутков.
Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

6) В выражении $\sqrt{|x|-3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$|x| - 3 \ge 0$
Перенесем -3 в правую часть:
$|x| \ge 3$
Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 3$ или $x \le -3$. Это означает, что подходят все числа, которые по модулю больше или равны 3.
Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.