Номер 0.12, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.12. Разложите квадратные трехчлены на множители:

1) $x^2-16x+48$;

2) $x^2-x-12;

3) $x^2+5x-14;

4) $x^2+6x-16;

5) $x^2+12x+27;

6) $2x^2-5x+2.

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $x^2 - 16x + 48$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 16x + 48 = 0$. Разложение будет иметь вид $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -16$ и $q = 48$. Значит, $x_1 + x_2 = 16$ и $x_1 \cdot x_2 = 48$.

Подбором находим, что корнями являются числа 4 и 12, так как $4 + 12 = 16$ и $4 \cdot 12 = 48$.

Следовательно, разложение на множители: $(x - 4)(x - 12)$.

Ответ: $(x - 4)(x - 12)$.

2) Для разложения трехчлена $x^2 - x - 12$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Найдем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна 1. Это числа 4 и -3, так как $4 \cdot (-3) = -12$ и $4 + (-3) = 1$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Разложение на множители: $(x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 3)$.

3) Разложим на множители $x^2 + 5x - 14$. Для этого решим уравнение $x^2 + 5x - 14 = 0$.

Найдем корни с помощью дискриминанта. Формула корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении $a = 1$, $b = 5$, $c = -14$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Разложение на множители: $(x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 7)$.

4) Для разложения $x^2 + 6x - 16$ найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = -16$.

Корнями являются числа 2 и -8, так как $2 \cdot (-8) = -16$ и $2 + (-8) = -6$.

Разложение на множители: $(x - 2)(x - (-8)) = (x - 2)(x + 8)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 8)$.

5) Разложим на множители $x^2 + 12x + 27$. Решим уравнение $x^2 + 12x + 27 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -12$ и $x_1 \cdot x_2 = 27$.

Так как сумма корней отрицательна, а произведение положительно, оба корня отрицательны. Корнями являются числа -3 и -9, поскольку $(-3) \cdot (-9) = 27$ и $(-3) + (-9) = -12$.

Разложение на множители: $(x - (-3))(x - (-9)) = (x + 3)(x + 9)$.

Ответ: $(x + 3)(x + 9)$.

6) Чтобы разложить трехчлен $2x^2 - 5x + 2$, найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Так как старший коэффициент $a \neq 1$, формула разложения имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем корни и коэффициент $a=2$ в формулу разложения:

$2(x - 2)(x - \frac{1}{2})$.

Умножим второй множитель на 2, чтобы избавиться от дроби: $(x - 2) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x - 1)$.

Ответ: $(x - 2)(2x - 1)$.