Номер 0.7, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.7. Решите неравенства графическим способом:

1) $x^2-3x-4<0$;

2) $x^2-3x-4>0$;

3) $2x^2+3x-5\ge0$;

4) $-6x^2+6x+36\ge0$.

1) $x^2-3x-4<0$
Для решения неравенства графическим способом построим эскиз графика функции $y = x^2-3x-4$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (нули функции), для этого решим уравнение $x^2-3x-4=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-1$ и $x=4$.
Поскольку мы решаем неравенство $x^2-3x-4<0$, нас интересуют значения $x$, при которых парабола находится ниже оси $Ox$. Из графика видно, что это интервал между корнями. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Ответ: $x \in (-1; 4)$.

2) $x^2-3x-4>0$
Используем эскиз графика функции $y = x^2-3x-4$ из предыдущего задания. Ветви параболы направлены вверх, и она пересекает ось $Ox$ в точках $x=-1$ и $x=4$.
Нас интересуют значения $x$, при которых $y>0$, то есть где график функции находится выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: левее корня $-1$ и правее корня $4$. Неравенство строгое, поэтому концы интервалов не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

3) $2x^2+3x-5 \ge 0$
Рассмотрим функцию $y = 2x^2+3x-5$. График — парабола. Коэффициент $a=2 > 0$, ветви направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение $2x^2+3x-5=0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-7}{4} = -2.5$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-2.5$ и $x=1$.
Решаем неравенство $2x^2+3x-5 \ge 0$. Нас интересуют значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$ или на самой оси. Это происходит левее корня $-2.5$ и правее корня $1$. Так как неравенство нестрогое, сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [1; +\infty)$.

4) $-6x^2+6x+36 \ge 0$
Рассмотрим функцию $y = -6x^2+6x+36$. График — парабола. Коэффициент $a=-6 < 0$, ветви направлены вниз. Найдем нули функции, решив уравнение $-6x^2+6x+36=0$.
Для удобства разделим все уравнение на $-6$: $x^2 - x - 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-2$ и $x=3$.
Решаем неравенство $-6x^2+6x+36 \ge 0$. Нам нужны значения $x$, при которых график находится выше оси $Ox$ или на ней. Поскольку ветви параболы направлены вниз, это интервал между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2; 3]$.