Номер 0.2, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.2. Вычислите:

1) $\sqrt{360} \cdot \sqrt{2,5}$; 2) $\sqrt{90 \cdot 4,9}$; 3) $\sqrt{72 \cdot 32}$;

4) $\sqrt{3,6 \cdot 12,1}$; 5) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$; 6) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{7}$;

7) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}}$; 8) $\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}}$; 9) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{45}$.

1) Для вычисления $\sqrt{360} \cdot \sqrt{2,5}$ воспользуемся свойством, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Объединим подкоренные выражения:

$\sqrt{360 \cdot 2,5} = \sqrt{900}$

Извлечем квадратный корень из 900:

$\sqrt{900} = 30$

Ответ: 30.

2) Преобразуем подкоренное выражение $\sqrt{90 \cdot 4,9}$, чтобы упростить извлечение корня. Для этого можно избавиться от десятичной дроби, умножив и разделив на 10, либо заметив, что $90 \cdot 4,9 = 9 \cdot 10 \cdot 4,9 = 9 \cdot 49$.

$\sqrt{90 \cdot 4,9} = \sqrt{9 \cdot 49}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{9 \cdot 49} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{49} = 3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21.

3) Для вычисления $\sqrt{72 \cdot 32}$ разложим числа 72 и 32 на множители, чтобы выделить полные квадраты. Это удобнее, чем перемножать большие числа.

$72 = 36 \cdot 2$

$32 = 16 \cdot 2$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{72 \cdot 32} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (16 \cdot 2)} = \sqrt{36 \cdot 16 \cdot 4}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{36 \cdot 16 \cdot 4} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$

Ответ: 48.

4) Чтобы вычислить $\sqrt{3,6 \cdot 12,1}$, представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

$3,6 = \frac{36}{10}$

$12,1 = \frac{121}{10}$

Перемножим их под корнем:

$\sqrt{3,6 \cdot 12,1} = \sqrt{\frac{36}{10} \cdot \frac{121}{10}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 121}{100}}$

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойством корня из произведения:

$\frac{\sqrt{36 \cdot 121}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{100}} = \frac{6 \cdot 11}{10} = \frac{66}{10} = 6,6$

Ответ: 6,6.

5) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для выражения $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$:

$\sqrt{13} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{13 \cdot 52}$

Разложим число 52 на множители, чтобы найти полный квадрат: $52 = 4 \cdot 13$.

$\sqrt{13 \cdot 4 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13^2}$

Извлечем корень:

$\sqrt{4 \cdot 13^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 13 = 26$

Ответ: 26.

6) Применим свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{63} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63 \cdot 7}$

Разложим число 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.

$\sqrt{9 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7^2}$

Извлечем корень:

$\sqrt{9 \cdot 7^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7^2} = 3 \cdot 7 = 21$

Ответ: 21.

7) Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}}$

Выполним умножение дробей под корнем, сократив множители:

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}}$

Извлечем корень из дроби:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

8) Для вычисления $\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}}$ сначала преобразуем подкоренные выражения в неправильные дроби.

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь применим свойство произведения корней:

$\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{60}{15}} = \sqrt{4}$

Извлечем корень:

$\sqrt{4} = 2$

Ответ: 2.

9) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для выражения $\sqrt{20} \cdot \sqrt{45}$:

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{20 \cdot 45}$

Чтобы упростить вычисление, разложим числа 20 и 45 на множители:

$20 = 4 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5$

$\sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{(4 \cdot 5) \cdot (9 \cdot 5)} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 25}$

Извлечем корень из произведения:

$\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30.