Номер 16, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Назовите основные свойства неравенств. Объясните их на примерах.

Неравенства обладают рядом основных свойств, которые используются при их решении. Вот ключевые из них:

1. Свойство транзитивности.Если одно число больше второго, а второе число больше третьего, то первое число больше третьего. То же самое справедливо для знака "меньше".
Формульная запись: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
Пример: Даны числа 20, 11 и 5. Мы знаем, что $20 > 11$ и $11 > 5$. Из этого, согласно свойству транзитивности, следует, что $20 > 5$, что является верным.
Ответ:

2. Прибавление к неравенству или вычитание из него числа.Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не изменяется.
Формульная запись: если $a > b$, то для любого числа $c$ будут верны неравенства $a + c > b + c$ и $a - c > b - c$.
Пример: Возьмем верное неравенство $8 > 3$. Прибавим к обеим его частям число 5: $8 + 5 > 3 + 5$, что дает $13 > 8$ (верно). Теперь вычтем из обеих частей исходного неравенства число 2: $8 - 2 > 3 - 2$, что дает $6 > 1$ (также верно).
Ответ:

3. Умножение или деление неравенства на положительное число.Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не изменяется.
Формульная запись: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
Пример: Возьмем верное неравенство $15 > 10$. Умножим обе его части на положительное число 2: $15 \cdot 2 > 10 \cdot 2$, что дает $30 > 20$ (верно). Разделим обе части исходного неравенства на положительное число 5: $\frac{15}{5} > \frac{10}{5}$, что дает $3 > 2$ (также верно).
Ответ:

4. Умножение или деление неравенства на отрицательное число.Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на $<$, $<$ на $>$, $\leq$ на $\geq$, $\geq$ на $\leq$).
Формульная запись: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
Пример: Возьмем верное неравенство $12 > 6$. Умножим обе его части на отрицательное число -3 и сменим знак $>$ на $<$: $12 \cdot (-3) < 6 \cdot (-3)$, что дает $-36 < -18$ (верно). Разделим обе части исходного неравенства на -2 и сменим знак: $\frac{12}{-2} < \frac{6}{-2}$, что дает $-6 < -3$ (также верно).
Ответ:

5. Почленное сложение неравенств.Верные неравенства одного знака можно почленно складывать. В результате получится верное неравенство того же знака.
Формульная запись: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
Пример: Возьмем два верных неравенства $9 > 2$ и $7 > 5$. Сложим их почленно (левую часть с левой, правую с правой): $9 + 7 > 2 + 5$, что дает $16 > 7$ (верно).
Ответ:

6. Почленное умножение неравенств.Верные неравенства одного знака, у которых все части положительны, можно почленно перемножать. В результате получится верное неравенство того же знака.
Формульная запись: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.
Пример: Возьмем два верных неравенства с положительными членами: $5 > 3$ и $4 > 2$. Перемножим их почленно: $5 \cdot 4 > 3 \cdot 2$, что дает $20 > 6$ (верно). Важно помнить, что это свойство применяется только для неравенств с положительными частями.
Ответ: