Номер 9, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Как определяется квадратичная функция? Назовите особенности расположения графика квадратичной функции в зависимости от коэффициентов и дискриминанта квадратного трехчлена.

Как определяется квадратичная функция?

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.

Ответ: Квадратичная функция — это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — числа, и $a \neq 0$. Её график — парабола.

Особенности расположения графика квадратичной функции в зависимости от коэффициентов и дискриминанта квадратного трехчлена

Расположение параболы $y = ax^2 + bx + c$ на координатной плоскости полностью определяется значениями и знаками её коэффициентов $a, b, c$ и значением дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

1. Влияние старшего коэффициента $a$:
Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы.
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Абсолютное значение $|a|$ влияет на "крутизну" параболы. Чем больше $|a|$, тем парабола "уже" и ближе прижата к своей оси симметрии.

2. Влияние свободного члена $c$:
Коэффициент $c$ является ординатой точки пересечения параболы с осью Oy. Координаты этой точки — $(0, c)$.
- Если $c > 0$, парабола пересекает ось ординат выше начала координат.
- Если $c < 0$, — ниже начала координат.
- Если $c = 0$, парабола проходит через начало координат.

3. Влияние коэффициентов $a$ и $b$ на положение вершины:
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -b / (2a)$ и $y_0 = y(x_0)$. Абсцисса вершины $x_0$ определяет положение оси симметрии параболы (прямая $x = x_0$).
- Если $a$ и $b$ имеют разные знаки (или $b=0$), то $x_0 \ge 0$, и вершина параболы находится в правой полуплоскости или на оси Oy.
- Если $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, то $x_0 < 0$, и вершина находится в левой полуплоскости.

4. Влияние дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
Знак дискриминанта определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс Ox (т.е. количество действительных корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$).
- Если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
- Если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке — своей вершине.
- Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью Ox и целиком лежит выше или ниже неё.

Сочетание знаков $a$ и $D$ дает 6 основных вариантов расположения параболы относительно оси Ox:

$a > 0, D > 0$
$a > 0, D = 0$
$a > 0, D < 0$

$a < 0, D > 0$
$a < 0, D = 0$
$a < 0, D < 0$

Ответ: Расположение параболы определяется коэффициентами $a, b, c$ и дискриминантом $D$. Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей, $c$ — за точку пересечения с осью Oy, комбинация $a$ и $b$ — за положение вершины относительно оси Oy, а $D$ — за количество точек пересечения с осью Ox.